Delta
Delta - Erectus - 50 Punti
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Salve a tutti, mi serve un esempio di gruppo di commutatori e anche un metodo per costruirli, non mi serve la teoria in quanto la so, il fatto è che non trovo da nessuna parte come costruirli o esempi chiari.
Se inoltre sapete anche dirmi se servono da qualche parte più avanti nell'algebra sarebbe tutto gradito.
Grazie in anticipo
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Mmmmmmmm.....

Allora, innanzitutto cosa intendi per gruppo di commutatori? Ti giuro che non ho mai sentito questa definizione: so cosa è un gruppo, so cosa è un commutatore, ma gruppo di commutatori manco a pagarne. Non è che stai parlando del Centralizzante di un gruppo?

Se G è un gruppo (non abeliano) si definisce centralizzante di G l'insieme

[math]Z=\{g\in G\ :\ ga=ag,\ \forall\ a\in G\}[/math]

Fammi sapere se è così, e vediamo di risolvere il tuo problema.
Delta
Delta - Erectus - 50 Punti
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no, quello è il centro di un gruppo e ha a che fare con i commutatori credo, comunque ti scrivo la definizione:
Sia G un gruppo e sia [G,G] il sottogruppo generato dai commutatori [g,h]=
[math]ghg^-1h^-1[/math]
dove g, h appartengono a G.
Questo è un gruppo che credo serva come esempio nell'introduzione dei sottogruppi normali, ma come poterli effettivamente costruire e utilizzare mi è ignoto
Il secondo g e il secondo h della formula sono elevati alla meno uno, ovvero sono l'inverso dei primi due
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ok, ho capito. Quello che tu chiami sottogruppo commutatore io lo chiamo sottogruppo derivato. Bene. Per quanto riguarda il calcolarli (almeno in maniera diretta) l'unica opzione che hai è quella di svolgere tutti i possibili prodotti della forma
[math]xyx^{-1}y^{-1}[/math]
che ovviamente risulta un po' una seccatura, in quanto per un gruppo con n elementi il numero di casi da analizzare è
[math](n-1)(n-2)+1[/math]
(non vanno considerati i casi in cui x=y e i casi in cui uno degli elementi sia l'identità danno sempre come risultato l'identità). In generale per determinare questo sottogruppo devi utilizzare un po' delle proprietà che essi offrono (sono normali, il quoziente di G con il suo derivato è abeliano, ecc.).
Un tipico esempio per calcolare i sottogruppi derivati è quello di calcolare il derivato di
[math]S_3[/math]
(gruppo delle permutazioni di ordine 3). In questo caso poniamo
[math]a=(1\ 2),\quad b=(1\ 3),\quad c=(2\ 3),\quad X=(1\ 2\ 3),\quad Y=(1\ 3\ 2)[/math]

ed essendo

[math]a^{-1}=a,\quad b^{-1}=b,\quad c^{-1}=c,\quad X^{-1}=Y,\quad Y^{-1}=X[/math]

trovi che

[math]p\ id\ p^{-1}\ id^{-1}=id,\qquad \forall p\in S_3\\
id=cbcb=XYYX=YXXY\\
X=abab=aXaY=bcbc=bXbY=caca=cXcY=YaXa=YbXb=YcXc\\
Y=acac=aYaX=baba=bYbX=cYcX=XaYa=XbYb=XcYc
[/math]

per cui il derivato o commutatore di
[math]S_3[/math]
è il gruppo
[math]G=\{id,\ (1\ 2\ 3),\ (1\ 3\ 2)\}=A_3[/math]

cioè il sottogruppo alterno di
[math]S_3[/math]
.

L'utilità dei sottogruppi derivati sta nel fatto che permettono di trovare catene finite di sottogruppi normali di un gruppo dato i cui quozienti successivi siano abeliani. In particolare un gruppo
[math]G[/math]
si dice risolubile se esiste una successione finite di sottogruppi normali
[math]G_i,\ i=0,\ldots,n[/math]
dove
[math]G_0=G,\ G_n=\{id\}[/math]
tali che
[math]\{id\}=G_n\subset G_{n-1}\subset\ldots\subset G_2\subset G_1\subset G_0=G[/math]

cosicché ogni gruppo
[math]G_{i-1}/G_i[/math]
risulti abeliano.

L'esistenza di gruppi risolubili ha ampie applicazioni nella teoria di Galois: ad esempio la non risolubilità di tutti i gruppi di permutazione
[math]S_n[/math]
con
[math]n\geq 5[/math]
ha permesso di dimostrare il classico Teorema di Abel-Ruffini che asserisce la non esistenza di una formula chiusa per radicali per le equazioni algebriche di grando 5 o superiore. Un'altra applicazione della risolubilità è legata invece alla costruzione dei poligoni regolari con riga e compasso (e ad esempio anche la non duplicabilità del cubo con tali strumenti si ricollega alla non risolubilità di un certo gruppo, di ordine 27, se non erro).
Delta
Delta - Erectus - 50 Punti
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Perfetto, grazie 1000 mi sei stato utilissimo :satisfied
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Prego, quando vuoi! Chiudo!
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