sparrow
sparrow - Erectus - 50 Punti
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Siano V=\left \{ (x,y,z,t) epsilon mathbb{R}^4\:x+y=z=0\right \} e U=Span((0,1,1,0),(1,0,0,0)) due sottospazi di mathbb{R}^4. Sia inoltre fissato in mathbb{R}^4 )il prodotto scalare standard.Determinare:
1)le equazioni cartesiane di U e una base di V
2)la dimensione degli spazi UcapV e U+V
3)le equazioni cartesiane del complemento ortogonale V^\perp \ di V
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Riscrivo un secondo i dati:

[math]V=\left\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\ :\ x+y=z=0\right\}[/math]

[math]U=\left<(0,1,1,0),(1,0,0,0)\right>[/math]

Procediamo a risolvere l'esercizio.

1) Il generico vettore di U è nella forma

[math]u=\alpha(0,1,1,0)+\beta(1,0,0,0)=(\beta,\alpha,\alpha,0)[/math]

da cui ne segue che se u=(x,y,z,t) deve essere

[math]y=z,\quad t=0[/math]

che quindi sono le coordinate cartesiane di U. Per trovare una base di V scriviamo la forma generale di un suo vettore: dalle equazioni presenti nella definizione si ha

[math]v=(x,-x,0,t)[/math]

per cui, per trovare una base, basta assegnare i valori 1,0 a x e t rispettivamente per trovare

[math]v_1=(1,-1,0,0),\quad v_2=(0,0,0,1)[/math]


2) Al fine di determinare
[math]U\cap V[/math]
basta mettere a sistema le equazioni dei due spazi, per cui si ha il sistema
[math]\left\{\begin{array}{l}
x+y=0\\ z=0\\ y=z\\ t=0
\end{array}\right.[/math]

la cui soluzione generale è

[math]x=-y=z=0,\quad t=0[/math]

Quindi
[math]U\cap V=\{0\}[/math]
e
[math]\dim(U\cap V)=0[/math]
. Dalla formula di Grassman vettoriale si ha poi
[math]\dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V)=\dim U+\dim V=2+2=4[/math]

essendo sia U che V spazi di dimensione 2 (come si evince dalle loro basi).


3) Poiché
[math]U+V\subseteq\mathbb{R}^4[/math]
e la sua dimensione è 4, ne segue che, essndo anche l'intersezione nulla,
[math]\mathbb{R}^4=U\oplus V[/math]
. Ma allora, per definizione di spazio vettoriale supplementare, si ha pure
[math]V^\bot=U[/math]
.

Se ci sono problemi fammi sapere.
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