BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
Rispondi Cita Salva
Ciao raga devo svolgere questo esercizio, ma non riesco a capire come impostarlo... Potreste aiutarmi per favore??

Determina i valori di a,b,c per la funzione
[math]f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x^2}[/math]

Sapendo che ha per asintoto orizzontale la retta y=2 e che nel punto p(1;-1) ha per tangente una retta che forma con gli assi cartesiani un triangolo la cui area è ugale a 9/4.(Tra i valori di c, considera solo i positivi).
b) Traccia il grafico probabile della funzione
c)Individua il punto con tangente orizzontale.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
Rispondi Cita Salva
Io lo imposterei cosi'

Sai che la funzione ha asintoto orizziontale y=2, ovvero che

[math] \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2+bx+c}{x^2} = 2 [/math]

e quindi

[math] \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(a+ \frac{b}{x}+ \frac{c}{x^2})}{x^2} = 2 [/math]

Sapendo che il rapporto
[math] \frac{n}{x^m} \to 0 [/math]
per
[math] x \to \infty [/math]
, semplificando
[math] x^2 [/math]
al numeratore e denominatore, avremo che a=2.
Le rette passanti per il punto (1,-1) sono le rette del fascio

[math] y-y_0=m(x-x_0) \to y+1=m(x-1) \to y=mx-m-1 [/math]

Qui mi fermo perche' mi serve sapere se avete fatto le derivate e il significato geometrico della derivata.
BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
Rispondi Cita Salva
Si li abbiamo fatti...
Ti volevo chiedere se era giusto procedere nel seguente modo:
Mi calcolo la derivata della funzione e mi determino m,sostituendo
[math]x_{p}[/math]
nella derivata. Poi ho sostituito m nell'equazione della tangente e ho cercato i punti in cui la tangente interseca l'asse x e l'asse y. Poi ho usato la formula dell'area moltiplicando questi 2 valori ottenuti,dividendoli per 2 ed uguagliandoli a 9/4.
Poi ho fatto 1 sistema con le 3 condizioni e non mi trovo con il risultato. Però vorrei sapere se è sbagliato il procedimento o meno per favore... Sto impazzendo!!:wall
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
Rispondi Cita Salva
Allora, continuo da dove ha lasciato BIT. Abbiamo appurato che
[math]a=2[/math]
. Ora, la funzione deve passare per il punto
[math]P(1,-1)[/math]
, per cui
[math]-1=\frac{2\cdot 1^2+b\cdot 1+c}{1^2}\ \Rightarrow\ b+c+3=0[/math]

Consideriamo ora la retta tangente alla curva in P: essa ha equazione

[math]y+1=m(x-1)\ \Rightarrow\ y=mx-1-m[/math]

dove
[math]m=f'(1)[/math]
(che calcoleremo dopo). Questa retta interseca gli assi nei punti
[math]A(0,-1-m),\ B((1+m)/m,0)[/math]
. Essendo il triangolo
[math]AOB[/math]
rettangolo in O, ed essendo i suoi cateti pari a
[math]AO=|1+m|,\qquad OB=\frac{|1+m|}{|m|}[/math]

l'area di questo triangolo è

[math]\frac{9}{4}=\frac{(1+m)^2}{2|m|}[/math]

Ricordiamoci ora che
[math]m=f'(1)[/math]
. Ma allora, essendo
[math]f'(x)=\frac{(4x+b)x^2-(2x^2+bx+c)\cdot 2x}{x^4}=\frac{-bx-2c}{x^3}[/math]

si ha pure

[math]m=-b-2c[/math]

Andando a sostituire nell'equazione dell'area, troviamo

[math]9|b+2c|=2(1-b-2c)^2[/math]

Ma sappiamo pure che
[math]b=-c-3[/math]
e quindi
[math]9|c-3|=2(4-c)^2[/math]

da cui

[math]9|c-3|=32-16c+2c^2\ \Rightarrow\ 2c^2-16c-9|c-3|+32=0[/math]

Questa equazione si riduce alle due equazioni

[math]c\geq 3\qquad 2c^2-25c+59=0\qquad c_{1}=\frac{25-\sqrt{389}}{4},\ c_2=\frac{25-\sqrt{389}}{4}[/math]

[math]c<3\qquad 2c^2-7c+5=0\qquad c_{3}=1,\ c_4=2[/math]

Ora, tutti i valori di c sono positivi, tuttavia il valore di
[math]c_1[/math]
è minore di 3 e va scartato. Ti restano allora 3 soluzioni per c (e quindi 3 per b). A meno che non ci sia un qualcos'altro da considerare, mi sa che sono un po' troppe!
BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
Rispondi Cita Salva
Il testo dice di considerare i valori interi di c e nelle soluzioni c=1. Però anche 2 è un valore intero, perché lo esclude??
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
Rispondi Cita Salva
Ah, i valori interi! Allora solo
[math]c_3=1[/math]
va bene, perché in realtà
[math]c_4=5/2[/math]
(ho sbagliato a scrivere e me ne sono accorto solo ora).
A questo punto avrai pure che
[math]b=-4[/math]
e quindi la funzione risulta
[math]f(x)=\frac{2x^2-4x+1}{x^2}=2-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}[/math]

Per i limiti

[math]\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=2,\qquad \lim_{x\to 0}f(x)=+\infty[/math]

e quindi
[math]y=0[/math]
è un asintoto verticale. Per la derivata prima avrai
[math]f'(x)=\frac{4}{x^2}-\frac{2}{x^3}=\frac{4x-2}{x^3}\geq 0[/math]

quando
[math]x<0,\ x\geq 1/2[/math]
. In particolare il punto
[math]A(1/2,-2)[/math]
è un punto di minimo per la funzione. Infine, per la derivata seconda
[math]f''(x)=-\frac{8}{x^3}+\frac{6}{x^4}=\frac{6-8x}{x^4}\geq 0[/math]

per
[math]x\leq 3/4[/math]
e il punto
[math]B(3/4,-14/9)[/math]
è un flesso.
Il punto con tangente orizzonatale è, ovviamente, il punto di minimo.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di novembre
Vincitori di novembre

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

mc2

mc2 Genius 341 Punti

Comm. Leader
kunvasquero

kunvasquero Geek 347 Punti

VIP
Registrati via email