nuvolasolitaria
nuvolasolitaria - Ominide - 19 Punti
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Mi potreste aiutare a capire le disequazioni di secondo grado letterali? domani ho compito e non sono sicura di averle capite.
come esempio potete usare questa x^2+4kx+2>0
grazie mille
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Per prima cosa devi considerare k come fosse un valore numerico

risolvi l'equazione associata:

[math] x^2+4kx+2=0 [/math]

trovando come soluzioni

[math] x_{1,2} = \frac{-4k \pm \sqrt{16k^2-8}}{2} = \frac{-4k \pm \sqrt{4(4k^2-2)}}{2} = \\ \\ \\ \\ \\ = \frac{-4k \pm 2 \sqrt{4k^2-2}}{2} = \frac{\no{2}\(-2k \pm \sqrt{4k^2-2} \)}{\no{2}} [/math]

Pertanto hai che
[math] x_1 = -2k- \sqrt{4k^2-2} \ \ \ \ \ \ x_2=-2k + \sqrt{4k^2-2} [/math]

In una disequazione senza lettere, avresti finito qua, ponendo x< del piu' piccolo e x>del piu' grande.

Devi ricordare che quando c'e' > 0 hai:

se delta < 0 , sempre verificata.

Vediamo quando delta e' < 0

[math] 4k^2-2<0 \to k^2< \frac12 \to - \sqrt{\frac12} < k < + \sqrt{\frac12} [/math]

ovvero razionalizzando
[math] \sqrt{\frac12} = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} [/math]

hai che per

[math] - \frac{\sqrt2}{2}<k<\frac{\sqrt2}{2} [/math]
la disequazione e' sempre verificata.
Quando delta = 0, sai che la disequazione e' sempre verificata ad eccezione di x= alla soluzione doppia dell'equazione associata.

Quindi se
[math] k= \pm \frac{\sqrt2}{2} [/math]

hai che le soluzioni
[math] -2k \pm \sqrt{4k^2-2} [/math]
diventano coincidenti (sostituisci il valore di k e ottieni due soluzioni uguali:
[math] x= - \sqrt2 [/math]
per
[math] k=+ \frac{\sqrt2}{2} [/math]

la soluzione della disequazione sara'
[math] \forall x \in \mathbb{R} - \{ - \sqrt2 \}[/math]

[math] x= + \sqrt2 [/math]
per
[math] k=- \frac{\sqrt2}{2} [/math]

la soluzione della disequazione sara'
[math] \forall x \in \mathbb{R} - \{ + \sqrt2 \}[/math]

infine se delta > 0 avrai un intervallo di soluzioni del tipo x<della minore U x> della maggiore.

ovvero se
[math] k< - \frac{\sqrt2}{2} \cup k> + \frac{\sqrt2}{2} [/math]
allora
[math] x< -2k- \sqrt{4k^2-2} \cup x> -2k + \sqrt{4k^2-2} [/math]

se hai dubbi, chiedi :)
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