Stefystef
Stefystef - Erectus - 95 Punti
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Salve a tutti, ho da risolvere un problema e 6 quesiti che mi sono stati assegnati in vita dell'esame di stato. A riguardo ho 3 domande da porvi...

1) Come determinare i parametri a,b,c di una funzione [ y = ax^2 +b / x^3 +c ] in modo che questa abbia l'asse delle ordinate come asintoto verticale e un estremo relativo nel punto A(rad3; 2rad3/9) ??
Penso sia una funzione omografica per la quale l'asintonto verticale corrisponde all'ascissa del centro...però cmq mi blocco e non ne ho idea.

2) Come determinare la funzione f(x) sapendo che f"(x) =x,che passa per un punto P(1;1) e che la tangente in P è parallela alla retta di equazione 3x+3y-1=0 ??

3) Come determinare per quali valori dei parametri a e b la curva y= ax^3 + bx^2 ha un flesso in F(1;3).


Preferirei avere la dritta per risolverli da sola e non la risoluzione da copiare e capire!! Poi se ho ulteriori problemi nello svolgimento chiedo!! Grazie a tutti in anticipo. =)

Aggiunto 1 ore 10 minuti più tardi:

La seconda sarebbe f secondo di x = x. Comunque gli integrali li ho fatti!

Aggiunto 8 minuti più tardi:

per quanto riguarda il punto C...la derivata seconda non è 6ax + 2bx???

Aggiunto 8 minuti più tardi:

BIT5 non capisco come fare l'ultimo punto...quello del Flesso...!! Il secondo punto invece lo vedo più tardi perchè sto per scendere!! Se puoi, mi fai sapere l'ultimo punto?? Grazie mille come sempre...! :)

Aggiunto 2 ore 9 minuti più tardi:

Perfetto....Grazie BIT5... =) =) =) =) Per il punto due...tutto ok!! Mi trovo...Grazie!
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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1) la funzione e'
[math] y= \frac{ax^2+b}{x^3+c} [/math]

Dal momento che vuoi che l'asse delle ordinate sia asintoto verticale, dovrai avere due condizioni:

a) il punto x=0 non deve appartenere al dominio
b) il limite destro o sinistro intorno a quel punto dev'essere = infinito.

Per il punto a pertanto dovra' essere:

[math] 0+c=0 \to c=0 [/math]

La funzione sara' dunque della forma

[math] y= \frac{ax^2+b}{x^3} [/math]

Calcoliamo ora il limite per x--> 0

[math] \lim_{x \to 0} \frac{ax^2+b}{x^3}= \frac{b}{0} = \infty [/math]

Pertanto qualunque valore assegniamo ad a e b, la funzione nell'intorno di zero tendera' sempre a infinito.

Poi vogliamo un estremo relativo nel punto dato.

Calcoliamo la derivata prima:

[math] y'= \frac{2ax(x^3)-3x^2(ax^2+b)}{x^6} [/math]

Che si annulla per

[math] 2ax^4-3ax^4-3bx^2=0 \to -x^2(ax^2+3b)=0 [/math]

[math] ax^2+3b=0 [/math]

Affinche x=radice di 3 sia un estremo relativo, questo valore, assegnato alla derivata prima, dovra' annullarlo.

Quindi

[math] a (\sqrt3)^2+3b=0 \to \to b=-a [/math]

Infine dal momento che conosciamo il punto A (che oltre ad essere un estremo relativo e' anche un punto della funzione (ovviamente) possiamo sostituire le coordinate del punto alla funzione, nonche' b trovato in funzione di a

[math] \frac{2 \sqrt3}{9}= \frac{a ( (\sqrt3)^2 -1)}{(\sqrt3)^3} [/math]

ovvero

[math] \frac{2 \sqrt3}{9}=\frac{2a}{3 \sqrt3} \to a=1[/math]

E quindi b=-1

La funzione sara'

[math] y= \frac{x^2+1}{x^3} [/math]

.

Aggiunto 1 minuti più tardi:

La seconda non capisco se e'
[math] f'(x)=x [/math]
o
[math] f''(x)=x [/math]

Inoltre dammi conferma che avete fatto gli integrali :)

Aggiunto 8 minuti più tardi:

Ok, ho copiato quello che hai scritto su un foglio di Word, e ingrandito la scritta..

E' la derivata seconda.

Ho letto solo dopo che non volevi tutta la soluzione.

Quindi ora ti do un accenno di come fare gli altri. (Sei una rarita'!)

Comunque

Integri la funzione due volte, ricordando la costante.

Quindi la costante c, integrata di nuovo, dara' cx.

A quel punto hai una funzione con incognita c (coefficiente di x) e c', costante che ottieni dal secondo integrale.

Sostituisci le coordinate del punto e ricavi c in funzione di c' (o viceversa)

A quel punto, la derivata prima della funzione (ovvero il risultato del pruimo integrale) per x=1 dovra' avere il valore della pendenza della retta tangente, visto che la derivata prima esprime l'andamento delle pendenze delle rette tangenti alla funzione in quel punto.

C) Affinche' la curva abbia un flesso in quel punto, deve cambiare la concavita'.

Pertanto la derivata seconda (che e' 6ax+b) dovra' essere <0 per x<1 e >0 per x>1 (o viceversa)

Troverai la relazione tra a e b.

A quel punto, fai passare la funzione originaria (espressa in funzione di un unico parametro) per il punto

Aggiunto 57 minuti più tardi:

[math] y=ax^3+bx^2 [/math]

[math]y'=3ax^2+2bx [/math]

[math] y''=6ax+2b [/math]

Sapendo che il cambio di concavita' si ha quando la derivata seconda cambia segno, vediamo:

[math] 6ax+2b>0 \to x>\frac{-b}{3a} [/math]

E quindi in x=-b/3a abbiamo un punto di flesso.

Il punto di flesso e' in x=1, pertanto
[math]- \frac{b}{3a}=1 \to a=- \frac{b}{3} [/math]

La funzione sara' dunque

[math]y= ax^3+bx^2 \to y= x^2(- \frac{b}{3}x+b) [/math]

Sostituisci le coordinate del punto di flesso:

[math] 3=1(- \frac{b}{3}+b) [/math]
perche' il punto di flesso appartiene alla funzione!
Ricavi b e di conseguenza anche a
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