Satiro
Satiro - Erectus - 50 Punti
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Ciao ragazzi,sto bloccato con lo studio di una funzione,per esser precisi al momento di determinare il punto di flesso.Calcolando la derivata seconda di un quoziente,come spesso capita,mi è risultato un abominio di polinomio(ma cmq corretto).E' un po lungo quindi ho pensato di allegarvi la parte saliente.Scrivo da cane premessoXD.I calcoli dovrebbero esser giusti sino all'ultimo ruffini.

noterete che x-1 e x+1 li ho considerati non accettabili,questo perchè sono esclusi dal dominio.Perciò mi son ritrovato con (x+1)(x-1) moltiplicato per un polinomio di grado 3(a quanto pare non + scomponibile,ho provato sostituendo 1,-1,2/4 e -2/4 ma niente) senza saper come contiunare.Ho provato ad andare direttamente allo studio del segno per la concavità ma la cosa mi puzza di bruciato,perciò mi rivolgo a voi.Grazie mille anticipatamente,spero in un provvidenziale aiuto XD.

p.s. nn vi ho allegato tutto lo svolgimento perchè saran 5 pagine.Ma se vi serve ditemelo che allego subito.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ehmmmmm.... la funzione non la vedo.

Aggiunto 1 minuti più tardi:

Invece di provare ad allegare un file, scrivimi quale era la funzione da studiare che facciamo prima.

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (29-01-10 17:15, 6 anni 10 mesi 11 giorni )
Satiro
Satiro - Erectus - 50 Punti
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ve la scrivo senza [math] perchè non c'ho capito niente, y=(x^2-2x)/(x^2-1)

Aggiunto 1 ore 18 minuti più tardi:

sarebbe parecchio urgente..sono quasi sicuro che sia tutta corretta..mi serve aiuto solo dalla derivata seconda in poi..

Aggiunto 20 ore 21 minuti più tardi:

please..sarebbe importante..
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ma dove è finita la risposta che avevo scritto???? Vabbé, la riscrivo. Allora, la funzione è

[math]f(x)=\frac{x^2-2x}{x^2-1}[/math]

La derivata seconda risulta

[math]f''(x)=-\frac{2(2x^3-3x^2+6x-1)}{(x^2-1)^3}[/math]

Ora, per studiare la convessità e i flessi, il problema sta tutto nel capire come è fatto il numeratore che, come ti sarai accorto, non è facilmente riducibile (e trovare le sue radici è una rottura infinita).

Per procedere bene devi fare così: indica con

[math]g(x)=2x^3-3x^2+6x-1[/math]

il numeratore di questa funzione. Essendo un polinomio, esso è definito per ogni valore reale: gli unici da escludere saranno i punti
[math]x=\pm 1[/math]
che non appartengono alla funzione di partenza. Adesso osserva che
[math]\lim_{x\to\pm\infty} g(x)=\pm\infty[/math]

e che
[math]g(1)=4,\ g(-1)=-12[/math]
. Studiamo allora il comportamento di questa funzione sui tre intervalli in cui si divide il dominio:
[math](-\infty,-1),\ (-1,1),\ (1,+\infty)[/math]

La derivata è

[math]g'(x)=6x^2-6x+6=6(x^2-x+1)[/math]

che risulta sempre positiva per ogni x (avendo il discriminante minore di zero). La funzione g è pertanto sempre crescente (strettamente). Cosa ne deduci?

Sul primo intervallo
[math](-\infty,-1)[/math]
la funzione g cresce da meno infinito ad un valore negativo (-12) e quindi non interseca l'asse delle x e risulta sempre negativa.
Sul secondo intervallo
[math](-1,1)[/math]
la funzione cambia segno agli estremi rimanendo crescente: questo vuol dire che esiste un punto
[math]\alpha\in(-1,1)[/math]
tale che
[math]g(\alpha)=0[/math]
. Osserva che, essendo pure
[math]g(0)=-1[/math]
puoi restringere l'intervallo di ricerca in modo che
[math]\alpha\in(0,1)[/math]
. Allora la funzione g risulta negativa tra -1 e tale radice e positiva tra tale radice e 1.
Infine, sull'ultimo intervallo, la funzione parte da un valore positivo (4) e arriva a più infinito crescendo sempre e quindi risulta sempre positiva. In definitiva

[math]g(x)<0\qquad x\in(-\infty,-1)\cup(-1,\alpha),\\ g(x)>0\qquad x\in(\alpha,1)\cup(1,+\infty)[/math]

con
[math]\alpha\in(0,1),\ g(\alpha)=0[/math]

Studiando i segni della derivata seconda, avendo un -2 che moltiplica (che è sempre negativo) e quel denominatore che è positivo per
[math]x<-1,\ x>1[/math]
ricavi per la derivata che
[math]f''(x)>0\qquad x\in(-\infty,-1)\cup(\alpha,1)\\
f''(x)<0\qquad x\in(-1,\alpha)\cup(1,+\infty)[/math]

e quindi nel primo caso la funzione ha concavità verso l'alto, nel secondo verso il basso. Infine essa ha un flesso nel punto
[math]x=\alpha[/math]
(di cui però non sai trovare il valore
[math]f(\alpha)[/math]
).

Giusto per tua curiosità, il valore della radice è

[math]\alpha=\frac{1}{2}\left(-\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1\right)[/math]

Il grafico è riportato in figura. (Ti ho tracciato anche gli asintoti)
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