Fabiouz94
Fabiouz94 - Habilis - 299 Punti
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Ho problemi con questo sistema, mi ritrovo singole equazioni a due incognite che hanno infinite soluzioni..il sistema è:
[math]\begin{cases} (a+b)x-by=b^2 \\ ax+2by=3ab
\end{cases} [/math]
Io mi fermo alla discussione sui coefficienti
grazie in anticipo!!
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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Proviamoci insieme.
[math]\begin{cases}(a+b)x-by=b^2\\ax+2by=3ab\end{cases}[/math]
Ricaviamoci la x da una delle due equazioni, per esempio la prima
[math]\begin{cases}x=\frac{b^2+by}{a+b}\\ax+2by=3ab\end{cases}[/math]

Aggiunto 2 minuti più tardi:

sostituiamo il valore della x nella seconda equazione
[math]\begin{cases}x=\frac{b^2+by}{a+b}\\a\(\frac{b^2+by}{a+b}\)+2by=3ab\end{cases}[/math]

Aggiunto 49 secondi più tardi:

dalla seconda eq. ti ricavi direttamente y; sostituendo il valore della y nella prima eq. ottieni la x
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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No assolutamente Newton. Questi sistemi vanno discussi a seconda del valore dei oparametri a e b. Per prima cosa, bisogna calcolare il determinante della matrice dei coefficienti delle incognite: esso è pari a

[math](a+b)2b+ab=b(3a+2b)[/math]

Tale determinante è non nullo per
[math]b\neq 0,\ 3a+2b\neq 0[/math]
. In tal caso il sistema è di Cramer e la soluzione risulta data dalla regola di Cramer:
[math]x=\frac{2b^3+3ab^2}{b(3a+2b)}=b,\qquad y=\frac{3ab(a+b)-ab^2}{b(3a+2b)}=a[/math]

Se invece
[math]b=0[/math]
le equazioni diventano entrambe
[math]ax=0[/math]
. Se
[math]a\neq 0[/math]
si hanno allora le infinite soluzioni
[math]x=0,\ y\in\mathbb{R}[/math]
. Se
[math]a=0[/math]
si hanno infinite soluzioni scegliendo, come si vuole, de valori qualsiasi per le incognite.
Se infine
[math]3a+2b=0[/math]
ovvero
[math]a=-2b/3[/math]
si hanno le equazioni
[math]bx-3by=3b^2,\qquad -2bx+6by=-2b^2[/math]

le quali, semplificando per
[math]b[/math]
che è diverso da zero (il caso uguale a zero lo abbiamo già trattato) divengono entrambe
[math]x-3y=3b\qquad x=3(b-y)[/math]

Le soluzioni risultano ancora infinite ma, questa volta, ogni volta che si sceglie un valore per
[math]y[/math]
se ne ottiene uno preciso per
[math]x[/math]
espresso dall'ultima relazione scritta.
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