grimlock
grimlock - Erectus - 50 Punti
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Ciao a tutti, ecco il mio problema:

ho una serie di Maclaurin:
[math]\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{n!}*x^k[/math]
con x>0
come si dimostra che:

SE
[math]\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{n!}*x^k = 0[/math]

ALLORA
[math] f^{(0)} = f^{(1)} = \frac{f^{(2)}(0)}{2} = ... = 0[/math]

grazie mille per l'aiuto!
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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Direi che a questo punto dopo 28 giorni magari la risposta non ti serve,
ma d'altronde è brutto un post senza risposta, soprattutto per una domanda interessante.

E' sufficiente che fai le derivate dello sviluppo nel punto zero:
fatta la derivata n esima, i primi n termini spariscono (derivi un polinomo di grado inferiore), rimane il termine
[math]f^{(n)}[/math]
,
mentre quelli dopo sono zero (è un polinomio omegeneo calcolato in 0);
al secondo membro è 0.

Quindi
[math]f^{(n)} = 0[/math]
, per ogni n.
(in realtà ho implicitamente fatto entrare la derivata dentro la serie; tipicamente è una cosa illegale, ma sotto opportune condizioni si mostra che si può fare; mi sembra che se una funzione è esprimibile come serie di potenze si possa sempre fare, ma magari un matematico conosce meglio questi dettagli)
mitraglietta
mitraglietta - Mito - 62599 Punti
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bene chiudo il thread, il mitico cherubino ha dato come sempre un'ottima risposta.
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
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