elbarto1993
elbarto1993 - Sapiens - 328 Punti
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Due lati di un parallelogrammo ABCD appartengono alle rette di equazione x+2y-3=0 e y=2x+4. Uno dei vertici del parallelogrammo è il punto A(5;4). Determinare gli altri vertici e verificare che ABCD è un quadrato.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Il punto A, come puoi vedere, non appartiene a nessuna delle due rette.

Le due rette (in forma esplicita) sono:

[math] y= - \frac12 x + \frac32 [/math]
e
[math] y=2x+4 [/math]
che come puoi vedere sono due rette perpendicolari (le pendenze sono una l'antireciproco dell'altra). Pertanto puoi gia' concludere che il parallelogrammo e' un rettangolo.
Il punto A sostituito alla prima da'

[math] 4 = - \frac52+ \frac32 [/math]
che e' palesemente falsa (se il punto non soddisfa l'equazione della retta significa che il punto non appartiene ad essa)
mentre sostituito alla seconda da'

[math] 4=2 \cdot 5 + 4 [/math]
che da'
[math] 4=14 [/math]
anch'essa falsa.
Le due rette, intersecate, danno il punto che appartiene ad entrambe (che e' un vertice del parallelogramma)

[math] \{y=- \frac12 x + \frac32 \\ y=2x+4 [/math]

che risolto da'

[math] \{ x=-1 \\ y=2 [/math]

quindi il punto (-1,2) (che chiamiamo B) e' un altro vertice del parallelogramma (e precisamente, siccome abbiamo detto che due lati del parallelogramma giaciono sulle due rette, il punto A non appartiene a nessuna delle due, il punto trovato invece ad entrambe, pertanto il punto A e il punto trovato sono gli opposti).

A questo punto sai che i punti che mancano appartengono rispettivamente uno ad una retta (e all'altra no) uno all'altra retta (ma non alla prima).

Troviamo le due rette passanti per A e perpendicolari alle rette date.

Una retta e'
[math] y= - \frac12 x + \frac32 [/math]

Tutte le perpendicolari ad essa sono della forma

[math] y=2x+q [/math]

E quella passante per A avra' x=5 e y=4 , quindi

[math] 4=2 \cdot 5 +q \to q=\frac{4}{10}= \frac25 [/math]

quindi la retta passante per A e'
[math] y=2x+ \frac25 [/math]

Intersecata alla sua perpendicolare (
[math] y= - \frac12 x + \frac32 [/math]
ci dara' il 3zo punto del parallelogramma (C)
Il quarto punto lo puoi trovare sempre cosi' o (in modo piu' lungo secondo me) trovando il punto che e' sia distante da A quanto lo e' B da A e che sia distante da C quanto lo e' A da C.

a questo punto calcoli la distanza tra A e B e tra A e C e noti che sono uguali, e che pertanto il parallelogrammo (che gia' avevi concluso essere un rettangolo) e' in verita' un quadrato perche' i lati sono equivalenti (le distanze tra i vertici sono uguali)
elbarto1993
elbarto1993 - Sapiens - 328 Punti
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grazie mille...Senti se invece conosco le coordinate di due vertici di un quadrato come determino le coordinate degli altri due vertici ? A(-1;4) e B(1;1)
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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E ti avrei risposto sull'altro 3d a questo quesito..
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