menestrellocalcio
menestrellocalcio - Habilis - 159 Punti
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Ringrazio anticipatamente chiunque mi aiuterà...Non so da dove iniziare...

Del triangolo ABC sono note le coordinate di A(3;1) e B(-2;2) e dell' ortocentro H ( 3/2;-3/2)

a) Trova le coordinate di C e le equazioni dei lati
b) Trova le coordinate del baricentro G e del circocentro D
c)dopo aver verificato che G,H e D sono allineati, calcola il rapporto GH/GD
d)Trova i punti P con ordinata tripla all'ascissa che formano con A e B triangoli di area uguale a quella di ABC
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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l'ortocentro è l'incontro delle altezze, e quindi AC è perpendicolare a BH (sulla retta BH giace l'altezza del triangolo relativa al lato AC). trovi quindi la retta BH, e cioè y=-x, e cerchi poi quella retta perpendicolare a BH e passante per A; su questa retta giace AC. la retta cercata è perpendicolare a y=-x e quindi ha m=1. sai inoltre che passa per A e quindi 1=1*3+q ---> q=-2. la retta cercata è y=x-2. ripeti lo stesso procedimento considerando la retta AH (sulla quale giace l'altezza relativa al lato BC) oppure trovi la retta AB (y=-1/5 x+8/5) e poi ricavi l'altezza relativa ad AB (la retta cercata deve essere perpendicolare ad AB ---> m=5 e deve passare per H ---> -3/2=5*3/2+q ---> q=-9, e quindi la retta è y=5x-9). ora per trovare C devi solo intersecare le due rette:

y=x-2
y=5x-9

y=x-2
x-2=5x-9

y=x-2
7=4x

y=7/4-2
x=7/4

y=-1/4
x=7/4

le coordinate del baricentro sono

[math]B(\frac{x_A+x_B+x_C}3\,;\,\frac{y_A+y_B+y_C}3)[/math]
e cioè
[math]B(\frac{3-2+\frac74}3\,;\,\frac{1+2-\frac14}3)[/math]

[math]B(\frac{11}{12}\,;\,\frac{11}{12})[/math]

per trovare le coordinate del circocentro, devi porre AO=BO=CO (O è il circocentro)

l'ultimo punto lo faccio più tardi o domani. se non è chiaroqualcosa chiedi:hi
menestrellocalcio
menestrellocalcio - Habilis - 159 Punti
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Grazie per la risposta!

Ti prego di aiutarmi anche con l'ultimo punto quando hai tempo...

Grazie ancora
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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se hanno ordinata tripla dell'ascissa vuol dire che giaciono sulla retta y=3x e che quindi possono essere espressi come P(x;3x). trovi la retta AB (già calcolata, y=-1/5 x+8/5 ---> y+1/5 x-8/5=0 ---> 5y+x-8=0) e trovi la distanza tra la retta AB e il punto P (trovando così l'altezza del triangolo ABP relativa alla base AB); ricordando la formula della distanza punto-retta

[math]d=\frac{|a*y_P+b*x_p+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/math]

dove a, b e c sono i coefficienti della retta (scritta in forma esplicita) e xP e yP sono le coordinate del punto. sostituendo (ricorda che le coordinate del punto P sono P(x;3x)) viene

[math]d=\fra{|5*3x+1*x-8|}{\sqrt{5^2+1^2}}=\frac{|16x-8|}{\sqrt{26}}[/math]

l'area di ABC vale A=AB*CK/2 dove K è il piede dell'altezza); devi porla uguale all'area di ABP, e cioè A=AB*PK'/2. eguagliando le due espressioni risulta AB*CK/2=AB*PK'/2 ---> CK=PK' (avendo la stessa base, i due triangoli devono avere la stessa altezza per avere uguale area).

CK lo puoi calcolare sempre usando la formula distanza punto-retta (hai la retta AB e hai le coordinate di C) e questo valore lo eguagli a PK' (che vale
[math]PK'=\frac{|16x-8|}{\sqrt{26}}[/math]
). la radice di 26 verra semplificata perchè nel calcolare CK il denominatore è sempre
[math]\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}[/math]
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