francescoblu
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aiuto equazioni irrazionali
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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Questa non è una equazione ma una disequazione. Comunque i concetti alla base sono gli stessi.
Per risolvere una equazione irrazionale bisogna "togliere" la "x" da sotto la radice.
L'unico modo per fare ciò è elevare a ugual potenza entrambi i membri dell'equazione.
L'unico problema da affrontare è che ELEVANDO il grado di una equazione AUMENTANO (o potrebbero aumentare) il numero delle soluzioni.
Senza entrare nel merito del Teorema che dice:
"una equazione di grado n ammette AL MASSIMO n soluzioni Reali distinte"
che poi nel Campo dei numeri Complessi diventa:
"una equazione di grado n ha n soluzioni tra Reali, Immaginari e Complessi"
ti faccio un esempio:
x = 2
ha UNA soluzione, appunto "+2"
se elevo entrambi i membri al quadrato ottengo:
[math]x^2=4[/math]
,
e questa seconda equazione ha DUE soluzioni "+2" E "-2".
Quindi nelle eq. irrazionali E' OBBLIGATORIO fare la verifica dei valori trovati perché c'è il rischio reale che qualcuna vada scartata. La verifica va fatta nel TESTO ORIGINALE DI PARTENZA.
Quindi:
+2 = 2
va bene, invece:
-2 = 2
NON va bene , quindi la soluzione "-2" va scartata.
Altra cosa importantissima, soprattutto nelle disequazioni, è determinare il CAMPO DI ESISTENZA, cioè DOVE (per quali valori) ha senso (ESISTE) la nostra disequazione.
Dobbiamo cioè scartare i valori che renderebbero la diseq. impossibile.
In questo caso, essendoci una radice quadrata, dobbiamo imporre la condizione che l'argomento della radice sia maggiore o uguale a ZERO, cioè:
x(x - 4) + 4
[math]\ge[/math]
0
[math]x^2-4x+4\ge0[/math]
che è sempre maggiore di zero tranne che nel punto "2" dove vale "0", ma va bene anche "=0".
--------
continua

Aggiunto 32 minuti più tardi:

Risolvendo la disequazione eleviamo al quadrato e troviamo:
[math]x^2-4x+4>4x^2+1+4x[/math]
,
[math]-3x^2-8x+3>0[/math]
,
[math]+3x^2+8x-3<0[/math]
.
Questa disequazione è verificata per:
-3 < x <
[math]\frac{1}{3}[/math]
.
PERO' sappiamo che la radice quadrata è sempre
[math]\ge0[/math]
, quindi se:
2x + 1 è minore di 0
la disequazione è sicuramente vera, allora dobbiamo aggiungere anche tutti i valori per cui:
x <
[math]-\frac{1}{2}[/math]
.
Quindi UNENDO i due risultati la risposta è:
x <
[math]\frac{1}{3}[/math]
,
perché
quando x > 0 vale solo
0 < x <
[math]\frac{1}{3}[/math]
,
quando x < 0
è sempre vera.
---------
Fammi sapere che ne pensi
francescoblu
francescoblu - Erectus - 50 Punti
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[math][/math]non si deve risolvere con due sistemi?

a(X)>0
b(x)<0

V

B(x)>0
A(X)>{B(X)}^2
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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Praticamente ho fatto così, infatti:
quando 2x + 1 < 0 la disuguaglianza è sicuramente vera A CONDIZIOBE CHE IL RADICALE ESISTA.
quando 2x + 1 > 0 bisogna risolvere la disequazione. Quello che è obbligatorio controllare prima di iniziare è la condizione che l'argomento della radice sia maggiore o uguale a zero e molti purtroppo non lo fanno. Faccio un esempio:
se avessimo
[math]\sqrt{-1-x^2}[/math]
. ,
non avrebbe senso fare alcun calcolo perchè la radice non esiste mai, mentre se i calcoli li facessi qualche risultato lo troverei senza accorgermi che la disequazione non ha significato.
Io sono contrario per natura a dare regole e regolette da imparare a memoria, perché se uno poi non se le ricorda, o ha qualche dubbio, rimane bloccato. Io cerco di capire (e far capire) il metodo di ragionamento, quindi privilegio il "PERCHE?" per essere in grado di aggirare un vuoto di memoria ricostruendo il ragionamento. Tanto poi alla fine conta solo il risultato corretto.
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