Lady9Oscar1
Lady9Oscar1 - Ominide - 23 Punti
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Sia C il punto medio della semicirconferenza di centro O e diametro AB=2r. Indicato con P un punto dell'arco CB,siano K e H le sue proiezioni,rispettivamente,sul diametro AB e sul prolunamento della corda AC. Determinare il limite del rapporto fra le aree dei triangoli CHP e CKP al tendere di P a C.

Mi sono perso dall'inizio...Ma perchè alcuni sono semplici e altri no? xD...uffààà...Aiuto!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Indichiamo con
[math]x=P\hat{A}B[/math]
: quando P si avvicina a C, allora
[math]x\to\frac{\pi}{4}[/math]
. Inoltre
[math]C\hat{A}B=\frac{\pi}{4}=\alpha[/math]
.
Per prima cosa, osserva che
[math]P\hat{O}B=2x[/math]
: infatti esso è l'angolo al centro che insiste sull'arco PB e, quinidi, il doppio dell'angolo alla circonferenza
[math]P\hat{A}B[/math]
.
Ora, il triangolo
[math]APB[/math]
è rettangolo in P (essendo inscritto in una semi circonferenza): risulta allora che
[math]AP=AB\cos x=2r\cos x[/math]

e quindi pure

[math]PH=AP\cdot \sin(\alpha-x)=2r\cos x\sin(\alpha-x)[/math]
[math]AH=AP\cdot\cos(\alpha-x)=2r\cos x\cos(\alpha-x)[/math]

Inoltre essendo pure

[math]AC=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2}[/math]

abbiamo

[math]CH=AH-AC=r\left(2\cos x\cos(\alpha-x)-\sqrt{2}\right)[/math]

da cui

[math]S_{PCH}=\frac{1}{2}\cdot PH\cdot CH=r^2\cos x\sin(\alpha-x)\left(2\cos x\cos(\alpha-x)-\sqrt{2}\right)[/math]


D'altra parte

[math]PK=r\sin 2x,\qquad OK=r\cos 2x[/math]

da cui, l'area del trapezio rettangolo
[math]OCPK[/math]

[math]S_{OCPK}=\frac{OK\cdot(OC+PK)}{2}=\frac{r^2\cos(2x)\cdot\left(1+\sin(2x)\right)}{2}[/math]

ed essendo l'area del triangolo
[math]COK[/math]
pari a
[math]\frac{1}{2}\cdot r\cdot r\cos 2x=\frac{r^2\cos(2x)}{2}[/math]

si ha

[math]S_{CPK}=S_{OCPK}-S_{COK}=\frac{r^2\cos(2x)\cdot\sin(2x)}{2}[/math]
.
La funzione di cui calcolare il limite è allora

[math]f(x)=\frac{r^2\cos x\sin(\alpha-x)\left(2\cos x\cos(\alpha-x)-\sqrt{2}\right)}{\frac{r^2\cos(2x)\cdot\sin(2x)}{2}}=\frac{2\cos x\sin(\alpha-x)\left(2\cos x\cos(\alpha-x)-\sqrt{2}\right)}{\cos(2x)\cdot\sin(2x)}[/math]


Calcoliamo allora

[math]\lim_{x\to\alpha} f(x)[/math]

Osserva che il limite si presenta nella forma indeterminata
[math]0/0[/math]
: i fattori della funzione che danno questo problema sono il
[math]\sin(\alpha-x)[/math]
e quello tra oarentesi a numeratore e il
[math]\cos(2x)[/math]
a denominatore. Tutti gli altri valori, sono costanti numeriche che puoi sostituire: avrai allora
[math]\lim_{x\to\alpha} f(x)=\lim_{x\to\alpha}\frac{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sin(\alpha-x)\cdot\left(2\cos x\cos(\alpha-x)-\sqrt{2}\right)}{\cos(2x)\cdot 1}=
\lim_{x\to\alpha}\frac{\sqrt{2}\cdot\sin(\alpha-x)\cdot\left(2\cos x\cos(\alpha-x)-\sqrt{2}\right)}{\cos(2x)}[/math]

Poniamo ora
[math]\alpha-x=t[/math]
da cui
[math]x=\alpha-t[/math]
e quindi
[math]\cos(2x)=\cos(2\alpha-2t)=\cos(\pi/2-2t)=\sin(2t)=2\sin t\cos t[/math]

da cui

[math]\lim_{x\to\alpha} f(x)=\lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{2}\cdot\sin t\cdot\left(2\cos(\alpha-t)\cos t-\sqrt{2}\right)}{2\sin t\cos t}=\\
\lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(2\cos t\cos(\alpha-t)-\sqrt{2}\right)=0[/math]

Spero sia tutto chiaro!

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (23-01-10 22:49, 6 anni 10 mesi 22 giorni )
Lady9Oscar1
Lady9Oscar1 - Ominide - 23 Punti
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Perfetto! ;) Grazie!

Aggiunto 12 minuti più tardi:

perchè se P tende a C ... x tende a pgreco/4 ???
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Perche' se P tende a C, abbiamo un triangolo (sempre rettangolo perche' inscritto in una circonferenza) e isoscele, dal momento che CO ne e' l'altezza che e' anche asse e mediana di AB (infatti AO=BO=raggio)

Pertanto il triangolo avra' angoli di 90,45,45.
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