lukyluke_93
lukyluke_93 - Ominide - 10 Punti
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salve a tutti!
mi servirebbe una mano con questi 3 quesiti.
mi basta solo che scrivete i calcoli senza magari soffermarsi troppo sulla spiegazione :)
mi fareste un grande piacere anche se magari riuscite a risolverne solo 1 o 2 BUONA FORTUNA E GRAZIE IN ANTICIPO!

1) data la parabola y= 2xquadro + 4x + 6 si determini una retta di coefficente angolare m= 4 che stacchi
su tale parabola un segmento di lunghezza pari a ( radice di 102 )

2) data la circonferenza di equazione xqaudro + yquadro + 2x + 8y -3 = 0 trova l'equazione della parabola che
ha vertice nel centro di tale circonferenza e passa per i punti di intersezione della circonferenza con l'asse delle x.

3)nel fascio di parabole con asse parallelo all'asse y e tangenti alla retta 2x - y - 3 = 0 nel suo punto di ordinata 3,
trova la parabola passante per il punto (1;3).
determina poi le equazioni della retta tangenti alla parabola condotte per il punto P di ascissa 19/8 della direttrice della parabola.
trova poi la circonferenza centrata nel vertice della parabola e tangente agli assi.
trova infine la retta y=k che interseca la parabola nei punti P e Q, la circonferenza nei punti R e S, determini segmenti PQ e RS
tali che 2- PQ= RS
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Tutte le rette di coefficiente (coefficIente, con la i....) angolare m=4 sono della forma

[math] y=4x+q [/math]

Troviamo i generici punti di intersezione tra la parabola e le rette del fascio (improprio)

[math] \{y=4x+q \\ y=2x^2+4x+6 [/math]

Da cui

[math] 4x+q=2x^2+4x+6 \to 2x^2+4x-4x+6-q=0 \to \\ \\ \\ \to 2x^2+6-q=0 [/math]

Risolviamo l'equazione. E' un'equazione incompleta, pertanto possiamo risolverla banalmente portando i termini noti a destra e poi radicando il tutto, quindi

[math] 2x^2=q-6 \to x^2= \frac{q-6}{2} \to x= \pm \sqrt{\frac{q-6}{2}}[/math]

Le soluzioni avranno significato se
[math] \frac{q-6}{2} \ge 0 \to q \ge +6 [/math]

Pertanto i punti di intersezione saranno (sostituendo i valori di x alla retta)

[math] x_1= \sqrt{\frac{q-6}{2}} \to y_1=4\sqrt{\frac{q-6}{2}}+q [/math]

[math] x_2= - \sqrt{\frac{q-6}{2}} \to y_1= - 4\sqrt{\frac{q-6}{2}}+q [/math]

La distanza tra due punti e' data dal teorema di Pitagora:

[math] d= \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} [/math]

E dovra' essere radice di 102, quindi

[math] \sqrt{102} = \sqrt{\(\sqrt{\frac{q-6}{2}} - - \sqrt{\frac{q-6}{2}}\)^2 + \(4\sqrt{\frac{q-6}{2}}+q- \(-4\sqrt{\frac{q-6}{2}} +q \) \)^2} [/math]

da cui

[math] \sqrt{102} = \sqrt{ \(2\sqrt{\frac{q-6}{2}} \)^2+ \(8 \sqrt{\frac{q-6}{2}} \)^2} [/math]

Quindi

[math] \sqrt{102} = \sqrt{4 \frac{q-6}{2} + 64 \frac{q-6}{2}} [/math]

E dunque

[math] \sqrt{102} = \sqrt{68 \frac{q-6}{2}} \to \sqrt{102} = \sqrt{34(q-6)} [/math]

Eleviamo al quadrato e avremo

[math] 102 = 34 (q-6) \to 34q=102+204 \to 34q=306 \to q= 9 [/math]

La retta cercata e' y=4x+9

Aggiunto 1 minuti più tardi:

Dal momento che q e' maggiore di 6 (campo di esistenza) la soluzione e' accettabile.

Quel valore di q esprime le rette del fascio che intersecano la parabola.

Infatti per q=6 la retta e' tangente, per q>6 le rette del fascio sono secanti, mentre per q<6 le rette del fascio sono esterne e non intersecano la parabola

Aggiunto 16 minuti più tardi:

Secondo esercizio:

la circonferenza ci fornisce i 3 punti per i quali e' richiesto il passaggio della parabola.

La circonferenza e'

[math] x^2+y^2+2x+8y-3=0 [/math]

Il centro sara'

[math] x_C=- \frac{a}{2} = - \frac22 = -1 \\ \\ \\ y_C=- \frac{b}{2} = - \frac82 = -4 [/math]

Quindi un punto sara' C(-1,-4)

Troviamo ora i punti di intersezione della circonferenza con l'asse x (di equazione y=0)

[math] \{y=0 \\ x^2+y^2+2x+8y-3=0 [/math]

Da cui

[math] x^2+0^2+2x+8(0)-3=0 [/math]

Quindi

[math] x^2+2x-3=0 \to (x+3)(x-1)=0 \to x=-3 \cup x=1 [/math]

Pertanto i due punti saranno

[math] A(1,0) \ \ \ \ \ \ \ B(-3,0) [/math]

Dobbiamo trovare la parabola
[math] y=ax^2+bx+c [/math]
passante per 3 punti.
PEr passare dai 3 punti, le coordinate dei punti devono soddisfarne l'equazione.

Dovremo pertanto risolvere il seguente sistema:

[math] \{ 0=a(1)^2+b(1)+c \\ 0=a(-3)^2+b(-3)+c \\ -4=a(-1)^2+b(-1)+c [/math]

Ovvero

[math] \{0=a+b+c \\ 0=9a-3b+c \\ -4=a-b+c [/math]

Risolvi il sistema e trovi i valori di a,b,c che sostituiti all'equazione generica della parabola, daranno la parabola cercata

Aggiunto 11 minuti più tardi:

3) sostituiamo ai parametri a,b,c della parabola generica, le informazioni date dal testo.

1) asse parallelo all'asse y:

equazione generica:
[math] y=ax^2+bx+c [/math]

2) tangenti alla retta 2x-y-3=0 nel punto di ordinata 3.

Questa informazione e' doppia.. Infatti se le parabole sono tangenti alla retta nel suo punto di ordinata 3 significa che retta e parabola condividono questo punto.

Il punto della retta di ordinata 3 (y=3) avra' ascissa

2x-3-3=0 da cui 2x=6 quindi x=3

quindi il punto di tangenza (3,3) appartiene alla parabola, pertanto:

[math] 3=a(3^2)+b(3)+c \to c=3-9a-3b [/math]

Quindi le parabole saranno tutte della forma

[math] y=ax^2+bx+3-9a-3b [/math]

Infine devono essere tangenti alla retta.

Calcoliamo i punti generici di intersezione tra la parabola scritta sopra e la retta 2x - y -3 = 0 ovvero y=2x-3

[math] \{y=2x-3 \\ y=ax^2+bx+3-9a-3b [/math]

E dunque

[math] 2x-3=ax^2+bx+3-9a-3b \to \\ \\ \\ \to ax^2+bx-2x+3+3-9a-3b=0 \to \\ \\ \\ \to ax^2+(b-2)x+9-9a-3b=0 [/math]

Le soluzioni di questa equazione esprimono i valori delle ascisse dei punti di intersezione tra retta e fascio..

Siccome vogliamo le rette tangenti, vogliamo dunque che questi punti di intersezione non siano due punti distinti, bensi' due punti coincidenti.

Affinche' un'equazione di secondo grado abbia dunque due soluzioni coincidenti, dovra' essere delta=0

Il delta dell'equazione (parametrica) e':

[math] \Delta = (b-2)^2-4(a)(9-9a-3b)[/math]

e dovra' essere zero per quanto detto sopra.

Quindi

[math] (b-2)^2-36a+36a^2+12ab=0 \to \\ \\ \to b^2-4b+4-36a+36a^2+12ab=0[/math]

Mi sembra particolarmente complesso nei conti, prima di risolverlo, puoi confermarmi il testo?

La retta.... sicuro che sia 2x-y-3=0 ?

E se fosse, il punto ha ordinata 3?

Se mi confermi il testo, lo continuiamo cosi', anche se e' strano (ma non impossibile) che vengano dei valori cosi'...
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