Strawberry-kiss
Strawberry-kiss - Ominide - 49 Punti
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E' vero che non sono brava in matematica, ma sono due giorni che provo a risolvere questi problemi e davvero non ci riesco... c'è qualcuno disposto a darmi una mano? Mi basta anche solo la spiegazione, i calcoli poi dovrei riuscire a farli da sola. Grazie mille in anticipo a chi risponderà, vi sarò debitrice per sempre.

1) I lati di un triangolo, ordinati secondo lunghezze crescenti, sono tali che il secondo supera di 2k il primo e il terzo supera di 2k il secondo. Il perimetro del triangolo è 30k. Calcola l'altezza relativa ad ogni lato.
Le risposte sono: 15√7k²; 15/4√7k²; 5/2√7k²

2)Disegna una circonferenza di diametro AB e una circonferenza di diametro AE, tangente internamente alla prima nel punto A. Traccia per E la corda CD tangente alla circonferenza minore. Sapendo che CD è 48a e BE è 18a, determina i raggi delle due circonferenze.
Le risposte sono: 16a ; 25a

3)Il raggio maggiore di una corona circolare è i 7/3 del minore e si sa che la differenza fra 1/4 del primo e 1/3 del secondo è 3cm. Calcola l'area della corona circolare e il rapporto fra il perimetro del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza maggiore e il perimetro del quadrato circoscritto alla circonferenza minore.
Le risposte sono: 640π cm² ; 7 √3/8

Questa risposta è stata cambiata da Ali Q (27-02-13 15:31, 3 anni 9 mesi 17 giorni )
Ali Q
Ali Q - Mito - 23936 Punti
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Ciao, Strawberry!
Scusa se mi sono permessa di modificare il tuo post, ma sai, non si possono utilizzare parolacce nel forum (anche se capisco che cinque minuti prendono a tutti, specie quando non riescono i problemi). Ti sposto subito le soluzioni: dammi solo qualche minuto e sono pronte...

1) I lati di un triangolo, ordinati secondo lunghezze crescenti, sono tali che il secondo supera di 2k il primo e il terzo supera di 2k il secondo. Il perimetro del triangolo è 30k. Calcola l'altezza relativa ad ogni lato.
Le risposte sono: 15√7k²; 15/4√7k²; 5/2√7k²


Chiamiamo L1, L2 ed L3 i tre lati del triangolo.
L1 + L2 + L3 = Perimetro = 30 K
Si sa che:
L2 = L1 + 2K
L3 = L2 + 2K = (L1 +2k) +2K = L1 + 4K


La formula del perimetro diventa dunque:
L1 + (L1 +2K) + (L1 + 4K) = 30 K
L1 + L1 +2K + L1 + 4K = 30 K
3L1 + 6 K = 30 K
3L1 = 30 K -6 K = 24 K
L1 = 24K/3 = 8 K


Ricordando che:
L2 = L1 + 2K = 8K + 2 K = 10 K
L3 = L2 + 2K = (L1 +2k) +2K = L1 + 4K = 8K + 4K = 12 K


Possiamo, noti i tre lati, calcolare l'area del triangolo grazie alla "formula di Erone". Indicando con "P" il semiperimetro del triangolo e con a,b e c i suoi tre lati, la formula di Erone dice che:
Area = radice quadrata di [P(P-a)(P-b)(P-c)]

Nel nostro caso:
Semi-perimetro = 30K/2 = 15 K

Area = radice quadrata di [15K(15K-8K)(15K-10K)(15K-12K)] = radice quadrata di [15K(7K)(5K)(3K)] = 15K²√7

Ora, l'area di un triangolo è pari al prodotto tra uno qualunque dei suoi lati per l'altezza ad esso relativa, il tutto diviso due.
Quindi:
A = L1 x h1/2
A = L2 x h2/2
A = L3 x h3/2


Pertanto:
h1 = A x 2/L1 = 15K²√7 x 2/8K = 15/4 K√7
h2 = A x 2/L2 = 15K²√7 x 2/10K = 3K√7
h2 = A x 2/L3 = 15K²√7 x 2/12K = 5/2K√7

2)Disegna una circonferenza di diametro AB e una circonferenza di diametro AE, tangente internamente alla prima nel punto A. Traccia per E la corda CD tangente alla circonferenza minore. Sapendo che CD è 48a e BE è 18a, determina i raggi delle due circonferenze.
Le risposte sono: 16a ; 25a


Essendo CD tangente alla seconda circonferenza, esso sarà perpendicolare al diametro AB e tale che AB lo tagli a metà.
Quindi:
ED = EC = CD/2 = 24 a

Congiungo i puni A,D e B in modo da ottenere il triangolo ADB. Questo è un triangolo rettangolo, in quanto inscritto un una semi-circonferenza.

Il secondo teorema di Euclide ci dice che:
"il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa (nel nostro caso ED) è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa (cioè EB x AE)".

Quindi ED^2 = EB x AE
AE = ED^2/EB = (24a)^2/18 a = 576 a^2/18a = 32 a
Il raggio della circonferenza di diametro AE è pari a: AE/2 = 16 a

AB = AE + EB = 32 a + 18 a = 50 a
Il raggio è pari a AB/2 = 25 a.

3)Il raggio maggiore di una corona circolare è i 7/3 del minore e si sa che la differenza fra 1/4 del primo e 1/3 del secondo è 3cm. Calcola l'area della corona circolare e il rapporto fra il perimetro del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza maggiore e il perimetro del quadrato circoscritto alla circonferenza minore.
Le risposte sono: 640π cm² ; 7 √3/8


Chiamo R1 ed R2 i due raggi della corona:
R1 = 7/3 x R2
Inoltre:
R1/4 - R2/3 = 3 cm

Diviene, sostituendo ad R1 il valore di 7/3 R2....
(7/12 R2) - (R2/3) = 3 cm
7/12 R2 - 4/12 R2 = 3 cm
3/12 R2 = 3 cm
R2 = 3 x 12/3 = 12 cm


R1 = 7/3 x R2 = 7/3 x 12 = 28 cm

Area corona = Area cerchio 1 - Area cerchio 2 =πR1^2 - πR2^2 = π(28^2 -12^2) = π640 cm^2

Il perimetro del quadrato è presto calcolato. Infatti il raggio della circonferenza inscritta ad un poligono regolare prende il nome di "apotema". L'apotema, nel quadrato, è la metà del lato. Il lato è a sua volta il doppio dell'apotema:
L = 2 x R2 = 2 x 12 = 24 cm
P = 4 x 24 = 96 cm


Il lato del triangolo inscritto nella prima circonferenza è invece pari a:
L = √3 R1 = √3 x 28
P = 3 x L = 84√3 cm

La dimostrazione geometrica la puoi trovare a questo link, che è molto ben fatto:
http://www.ripmat.it/mate/f/fq/fqc.html

Il rapporto tra i due perimetro è dunque pari a:
84√3/96 = 7/8√3

Fine. Ciao!!!

Aggiunto 4 minuti più tardi:

Ecco la soluzione qui sopra...
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