Stefystef
Stefystef - Erectus - 95 Punti
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Salve...ho due domande da porre..
1) Quando ho questo tipo di funzione : y= e^2(x-1) [ossia e elevato a 2(x-1)]...qual'è il suo dominio(penso tutto R)?? ha intersezioni solo con l'asse delle y? qual'è il suo segno??


2) Vorrei un aiuto nel risolvere y= |x-2| +1 tutto sotto radice quadrata...io ho studiato il segno del valore assoluto e ho unito i due sistemi risolvendoli singolarmente...non sono sicur però di aver svolto bene tutti i calcoli...ad esempio mi trovo un punto di minimo in x=3 nel primo sistema e in x=1 nel secondo, ma non so se è corretto...


GRAZIE A TUTTI ANTICIPATAMENTE


Aggiunto 45 minuti più tardi:

Grazie mille per la 1 romano90... ;)

Aggiunto 31 minuti più tardi:

Molto chiaro...grazie mille!!
romano90
romano90 - Genius - 8755 Punti
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Allora vediamo un po' la prima...

[math]e^{2(x-1)}[/math]


Il dominio di una funzione esponenziale è, come hai detto tu, tutto l'insieme dei Reali.

Quindi :

[math]D \equiv R[/math]

Ha un'intersezione con l'asse y, che puoi trovare facilmente ponendo x=0

[math]\begin{cases} x=0 \\ y=e^{2(x-1) \end{cases} \
\\
\begin{cases} x=0 \\ y= \frac{1}{e^2} \end{cases}[/math]



Per il segno devi studiare questa disequazione:

[math]e^{2(x-1)} > 0[/math]

Che è vera sempre, infatti la nostra funzione sta sempre sopra l'asse x.

Per la seconda aspetta qualcun altro, che i moduli non li ricordo bene, quindi potrei dire qualche fesseria :D
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Per quanto riguarda la seconda, hai:

[math] y= \sqrt{|x-2|+1} [/math]

che corrisponde, come hai detto tu, a

[math] y= \{ \sqrt{x-1} \ \ per \ \ x \ge 2 \\ \sqrt{3-x} \ \ per \ \ x<2 [/math]

Campo di esistenza:

della prima
[math] x-1 \ge 0 \to x \ge 1 [/math]
pertanto nell'intervallo di studio
[math] x \ge 2 [/math]
esiste sempre
Dalla seconda:
[math] 3-x \ge 0 \to x \le 3 [/math]
e pertanto anche questa, in x<2 esiste sempre.
Pertanto il dominio e' tutto R.

Intersezione con gli assi:

x=0 (quindi considero la seconda)
[math]y= \sqrt{2} [/math]

y=0:

[math] \sqrt{x-1}=0 \to x=1 [/math]
non accettabile perche' questo pezzo esiste per x>=2
[math] \sqrt{3-x}=0 \to x=3 [/math]
anche questa non accettabile perche' esiste solo per x<2
Positivita': sempre, dal momento che la radice (quando esiste) da' sempre valori positivi (o nulli, ma abbiamo visto che questo non avviene).

Comportamento all'infinito. Sostituisci e vedi che va sempre a + infinito.

Poi controlli ancora il comportamento nel punto di salto, e noti che la prima funzione a 2 va a 1 e la seconda a 2- va anch'essa a 1.

Derivata prima.

Anche qui in due pezzi

[math]y'= \frac{1}{2 \sqrt{x-1}} [/math]
che e' sempre positiva. La funzione, dunque, cresce sempre (da 2 (compreso) in poi, dove esiste la funzione per questa derivata)
[math] y'= \frac{1}{2 \sqrt{3-x}} \cdot (-1) = - \frac{1}{2 \sqrt{3-x}} [/math]
che decresce sempre (fino a 2)
Entrambe le conclusioni nascono dal fatto che le frazioni sono formate (ad eccezione del segno davanti) da un numeratore numerico e un denominatore sempre positivo.

Vediamo pero' la derivata prima nel punto 2..

[math] \lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{x-1}}= \frac12 [/math]

[math] \lim_{x \to 2^-} - \frac{1}{2 \sqrt{3-x}}=- \frac{1}{2} [/math]

Dal momento che le derivate sono diverse, nel punto x=2 la funzione ha un cambio di pendenza della retta tangente.
x=2 pertanto non e' un punto di accumulazione e pertanto non esiste la derivata in 2.

Studio della derivata seconda:

[math] y''= - \frac{1}{4 (x-1) \sqrt{x-1}} [/math]
che ha:
numeratore sempre negativo (considera -1 al numeratore)

Denominatore positivo per x>1

Ma siccome stiamo studiando questo pezzo di funzione per x>=2, la funzione ha dunque sempre concavita' verso il basso (derivata seconda negativa)

[math]y''= \frac{-1}{4(3-x) \sqrt{3-x}} [/math]

numeratore sempre negativo

Denominatore positivo per x<3.

quindi nell'intervallo (x<2) la frazione e' sempre negativa (num. negativo fratto den positivo)

quindi anche qui la funzione ha concavita' verso il basso

Aggiunto 1 minuti più tardi:

In x=2 come puoi vedere vi e' una cuspide
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