Evan94
Evan94 - Ominide - 5 Punti
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Sto facendo i corsi di recupero e (stranamente) non ho capito questi 3 esercizi se qualcuno può darmi una mano magari anche spiegando

Sistema di disequazioni fratte
1 X/2(x-1) - 5-2x/6-6x > 0
2 (x^2 - 3 )^2 + 4x^2 < 0

Sistema di equazioni con Modulo
1| 3x + 5/2 | = 7x - 1/2
2|x-3|/1-x = 1-x/|x|

e questo dovrebbe avere a che fare con le funzioni ma durante l'anno non mi è stato spiegato per cui non ho proprio idea di cosa si debba di fare

√x^2 -3x + 2 (qui finisce la radice quadrata) = 2-x
Lotek
Lotek - Ominide - 44 Punti
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Per scrivere correttamente e senza ambiguità espressioni e simboli matematici, puoi usare un linguaggio che possiede alcuni elementi derivati dal LaTeX, che questo forum riesce ad interpretare. C'è una miniguida su questo sito.

I sistemi di disequazioni ed equazioni dovrebbero essere i seguenti, giusto?

Esercizio 1

[math]\left\{\begin{matrix}
\frac{x}{2(x-1)}-\frac{5-2x}{6-6x}>0
\\
(x^2-3)^2+4x^2<0
\end{matrix}\right.[/math]

Esercizio 2

[math]\left\{\begin{matrix}
\left | 3x+\frac{5}{2}\right |=7x-\frac{1}{2}
\\
\frac{\left | x-3 \right |}{1-x}=\frac{1-x}{\left | x \right |}
\end{matrix}\right.[/math]

Esercizio 3

[math]\sqrt{x^2-3x+2}=2-x[/math]

Anche se dubito sul fatto che non ti siano stati spiegati gli argomenti relativi ai precedenti esercizi, il terzo esercizio è un'equazione irrazionale, cioè un'equazione nella quale compaiono radicali contenenti l'incognita. Per risolvere tali equazioni, si isola il radicale al primo membro, con la condizione che il radicando, cioè l'argomento del radicale, sia maggiore o uguale a zero, e successivamente si elevano entrambi i membri ad una potenza pari all'indice del radicale.

Nel tuo caso, il radicale è già isolato al primo membro. Devi imporre la condizione di esistenza del radicale, cioè
[math]x^2-3x+2\ge0[/math]
, una banale disequazione di secondo grado.
[math]x_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2}=\frac{3 \pm 1}{2}[/math]

[math]x_1=\frac{3 - 1}{2}=1[/math]

[math]x_2=\frac{3 + 1}{2}=2[/math]

Ora, se il coefficiente del termine col grado più alto della disequazione è discorde con il segno della disequazione (cioè se il coefficiente è positivo e il segno è minore oppure se il coefficiente è negativo e il segno è maggiore) allora la soluzione è l'intervallo tra le due radici
[math]x_1[/math]
e
[math]x_2[/math]
. Altrimenti devi prendere l'intervallo esterno. Un modo per ricordare ciò facilmente prende il nome di regola DICE (Discordi Interni - Concordi Esterni). Nel tuo caso sono concordi, perciò il campo di esistenza (il dominio) del tuo radicale è l'intervallo
[math]x \le 1[/math]
[math]\wedge[/math]
[math]x \ge 2[/math]
.
Ora, per eliminare il radicale, devi elevare entrambi i membri ad una potenza pari all'indice di quest'ultimo. Nel tuo caso, essendo una radice quadrata, dovrai elevare alla seconda.

[math]x^2-3x+2=(2-x)^2[/math]

[math]x^2-3x+2=x^2-4x+4[/math]

[math]x=2[/math]

A questo punto dobbiamo confrontare il risultato con il dominio del radicale precedentemente calcolato. Infatti
[math]x=2[/math]
appartiene al dominio, perciò è una soluzione.
Come verifica, se vai a sostituire tale valore nell'equazione, otterrai un'uguaglianza:

[math]\sqrt{4-6+2}=2-2[/math]

[math]\sqrt{0}=0[/math]

[math]0=0[/math]
(Okay)
Per il primo sistema, devi risolvere le due disequazioni e trovare i valori comuni. Per risolvere le disequazioni, devi semplificarle con vari trucchetti...

Ad esempio:

[math]\frac{x}{2(x-1)}-\frac{5-2x}{6-6x}>0[/math]

Se tu calcolassi il minimo comune multiplo in questa forma, otterresti un'espressione gigantesca e difficilmente trattabile. Può essere notevolmente semplificata notando che
[math]6-6x[/math]
può essere scritto come
[math]-6(x-1)[/math]
. In tal modo, il minimo comune multiplo è proprio
[math]-6(x-1)[/math]
. Continua tu...
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