Dario93
Dario93 - Sapiens Sapiens - 1330 Punti
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Ciao ragazzi!
Potreste cortesemente risolvermi questo sistema usando il metodo di cramer??

a(x-y)+2y=a
a(ax+2x-2)=(a+2)(a-2)y

Vi ringrazio in anticipo!
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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ax+(2-a)y=a
(a^2+2a)x+(4-a^2)y=2a

il determinante è

a(4-a^2)-(a^2+2a)(2-a)=4a-4a^2-2a^2+a^3-4a+2a^2=a^3-4a^2=a^2(a-4)

il determinante x è

a(4-a^2)-2a(2-a)=4a-a^3-4a+2a^2=a^2(2-a)

il determinante y è

a*2a-(a^2+2a)*a=2a^2-a^3-2a^2=-a^3

le soluzioni sono quinsi

[math]x=\frac{D_x}D=\frac{a^2(2-a)}{a^2(a-4)}=-\frac{a-2}{a-4}[/math]

[math]y=\frac{D_y}D=\frac{-a^3)}{a^2(a-4)}=-\frac{a}{a-4}[/math]
Dario93
Dario93 - Sapiens Sapiens - 1330 Punti
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grazie!
i risultati però non coincidono con quelli del mio libro...
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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mmm, avrò fatto qualche errore nei passaggi. riesi a controllare tu, che devo risp ad altri 3d?
Dario93
Dario93 - Sapiens Sapiens - 1330 Punti
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A me non viene! Vabbè no problem, aspetterò che qualcun altro passi da qui...
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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ho corretto il det y... cmq quali sarebbero le soluzioni?
Dario93
Dario93 - Sapiens Sapiens - 1330 Punti
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se a=0 sistema indeterminato
se a diverso da 0 sistema impossibile
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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se il sistema è indeterminao o impossibile, vuol dire che il determinante è uguale a 0.

a(x-y)+2y=a
a(ax+2x-2)=(a+2)(a-2)y

ax-ay+2y=a
a^2x+2ax-2a=(a^2-4)y

ax+(2-a)y=a
(a^2+2a)x+(4-a^2)y=2a

D=a*(4-a^2)-(a^2+2a)*(2-a)=a*(4-a^2)-a*(a+2)(2-a)=a*(4-a^2)-a*(4-a^2)=0

il sistema quindi o è impossibile o è indeterminato

se il determinante di x è uguale a 0, il sistema è indeterminato
se il determinante di x è diverso da 0, il sistema è indeterminato

Dx=a*(4-a^2)-2a*(2-a)=4a-a^3-4a+a^2=a^2(2-a)

se a^2(2-a)=0 (quindi se a=0 vel a=2) ---> indeterminato
se
[math]a^2(2-a)\ne0[/math]
(quindi se
[math]a\ne0\,et\,a\ne2[/math]
) ---> impossibile
Dario93
Dario93 - Sapiens Sapiens - 1330 Punti
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grazie!
così dovrebbe essere giusto
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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scusa, ma ho sbagliato: perchè il sistema sia indetrminato deve essere contemporaneamente Dx=0 e Dy=0. unh metodo più semplice per vedere se un sistema (con D=0) è indet o imposs è quello di vedere i rapporti tra i coefficienti:

ax+by=e
cx+dy=f

con ad-bc=0

se a/c=e/f ---> il sistema è indetrminato; altrimenti è impossibile. nel tuo caso devi vedere quando

[math]\frac a{a^2+2a}=\frac a{2a}[/math]

se a=0 il sistema è indetrminato, perchè il sistema diventa

0x+2y=0
0x+4y=0

che ha come soluzioni y=0 e tutte le x

se invece a è diverso da 0, il rapporto
[math]\frac a{a^2+2a}=\frac a{2a}[/math]
esiste e puoi quindi svolgere i conti:
[math]\frac a{a^2+2a}=\frac a{2a}[/math]

[math]\frac 1{a+2}=\frac 12[/math]

2=a+2

a=0

visto che avevamo supposto a diverso da 0, non ci sono valori per cui
[math]\frac a{a^2+2a}=\frac a{2a}[/math]
è verificata.
quindi se a=0 ---> ind
se a diverso da 0 ---> imp
Dario93
Dario93 - Sapiens Sapiens - 1330 Punti
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scusa da dove hai preso a/a^2+2a= a/2a ??
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Plum, quello non è il modo più corretto di procedere.
allora, le due equazioni scritte meglio sono

[math]ax+(2-a)y=a,\qquad a(a+2)x-(a+2)(a-2)y=2a[/math]

e si ha

[math]D=-a(a+2)(a-2)-a(a+2)(2-a)=0[/math]

per cui il determinante è sempre nullo. Ne segue che il sistema è

1) indeterminato (ha infinite soluzioni) se a=2a, e questo accade se e solo se a=0;

2) incompatibile (nessuna soluzione) se
[math]a\neq 2a\Rightarrow a\neq 0[/math]
.
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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Dario93: scusa da dove hai preso a/a^2+2a= a/2a ??

è il rapporto a/c=e/f dove a, b, e, f indicano rispettivamente

ax+by=e
cx+dy=f

ciampax, non ho capito bene quel che intendi; perchè se hai

x+y=1
2x+2y=2

i termini noti sono diversi ma il sistema è indeterminato
Dario93
Dario93 - Sapiens Sapiens - 1330 Punti
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ok graazie
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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prego; non chiudo, nell'eventualità che ciampax risponda
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