alex80
alex80 - Ominide - 13 Punti
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la circonferenza di centro O inscritta nel triangolo ABC,rattangolo in A, ha il raggio lungo 3. sapendo che la parallela ad AB condotta da O interseca BC in un punto che dista 5 da B. determinare il perimetro e l'area del triangolo ABC. RISULTATI: 36;54
Ali Q
Ali Q - Mito - 23936 Punti
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Ecco a te, Alex80:

Chiamo K il punto in cui la parallela ad AB condotta dal centro O taglia il lato BC.
Da K mando la parallela al lato ASc, che intereseca AB nel punto H.
Il triangolo BKH è un triangolo rettangolo per costruzione. L'ipotenusa BK è lunga 5. Il cateto KH è invece lungo 3, poichè pari al raggio della circonferenza inscritta in ABC.
Possiamo utilizzare il teorema di Pitagora per calcolare anche il cateto HB.
HB = radice di (5^2 -3^2) = 4
Calcoliamone l'area e il perimetro:
A(BHK) = HB*HK/2 = 3 x 4/2 = 6
P (BHK ) = HB+ HK + BK = 4 +3 +5 = 12


Il triangolo BHK è simile al triangolo ABC. Questo perchè sono entrambi triangoli rettangoli con i cateti paralleli.
Se questo è vero, vale che i lati dei due triangoli sono tra loro proporzionali:
BC = n x BK
AB = n x BH
AC = n x HK


Dove con "n" si è indicato un numero intero, positivo, maggiore di 1.

Allora:
A(ABC) = AB x AC/2 = (n x BH)(n x HK)/2 = n^2 (BH x HK/2) = n^2 x A(BHK) = n^2 *6

P(ABC) = AB + BC + AC = (n x BH) + (n x HK) + (n x BK) = n (BH + HK + BK) = n x 12

A(ABC)x 2/P(ABC) = n

Ora, il rapporto tra il doppio dell'area e il perimetro di un qualsiasi triangolo o poligono regolare prende il nome di "apotema". L'apotema è il raggio della circonferenza inscritta al poligono. Nel nostro caso, dunque:
A(ABC) x 2/P(ABC) = 3 = n

Quindi:
A(ABC) = n^2 x A(BHK) = 9 x 6 = 54
P(ABC ) = n x P(BHK) = 3 x 12 ) 36


Fine. Ciao!!!
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