dj danger
dj danger - Ominide - 41 Punti
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e un problema ... l'equazione del fascio di parabole tangenti alla retta di equazione y=3x nel punto di ascissa -2e determinare quella tangente alla retta di equazione y=-x+1 risp vi prego grazie mille non ci capisco niente
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Prima di tutto:

l'equazione canonica della parabola e':

[math] y=ax^2+bx+c [/math]

Dal momento che le parabole sono tangenti alla retta nel punto di ascissa = -2 (e quindi di ordinata = -6, che trovi sostituendo -2 alla x della retta) esse passano anche da quel punto

Quindi il punto soddisfa l'equazione della parabola.

sostituiamo le coordinate del punto all'equazione canonica

[math] -6=a(-2)^2+b(-2)+c \to -6=4a-2b+c \to c=-6-4a+2b [/math]

Pertanto l'equaziione del fascio di parabole cercato si riduce a

[math] y=ax^2+bx-6-4a+2b [/math]

Inoltre sai che il fascio e' di parabole tangenti alla retta.

Cerchiamo i punti generici di intersezione tra retta e fascio

[math] \{ y=3x \\ y=ax^2+bx-6-4a+2b [/math]

Per confronto avremo

[math] 3x=ax^2+bx-6-4a+2b \to ax^2+bx-6-4a+2b -3x=0 \to \\ \to ax^2+(b-3)x-6-4a+2b=0 [/math]

e' un'equazione di secondo grado.
Essa dara' due risultati se delta>0, ma siccome noi vogliamo che retta e fascio siano tangenti, il delta dovra' essere = 0 in modo da avere un'unica soluzione.

Quindi

[math] \Delta=(b-3)^2-4a(-6-4a+2b)=0 \to b^2-6b+9+24a+16a^2-8ab=0 [/math]

Risolviamo dunque l'equazione in b

[math] b^2+2b(-3-4a)+16a^2+24a+9=0 [/math]

da cui, usando la ridotta (ho raccolto il 2 apposta)

[math] b= 3+4a \pm \sqrt{(-3-4a)^2-16a^2-24a-9} \to 3+4a \pm \sqrt{9+24a+16a^2-16a^2-24a-9} = 3+4a [/math]

Quindi il fascio sara'

[math] y=ax^2+(3+4a)x-6-4a+2(3+4a) \to y=ax^2+(3+4a)x+4a [/math]

A questo punto metti a sistema il fascio con la retta y=x+1 e trovi un'equazione di secondo grado (parametrica con parametro a)

Trovi il delta della soluzione, e lo poni = 0
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