ciaooo
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1 Scrivere l'eq. della circonf. passante per l'origine, ivi tangente alla retta 2x+3y=0 e avente il centro sulla retta x+2y-2=0

2 Scrivere l'eq della circonf. tangente all'asse x e passante per i punti (1;2); (3;4).

3 Scrivere le eq delle circonf. tangenti agli assi del sistema di riferimento e aventi il centro sulla retta x-2y+3=0.

Grazie mille a chi li farà :-)
ciampax
ciampax - Tutor - 29101 Punti
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Problema 1)

L'equazione di una circonferenza passante per l'origine è

[math]x^2+y^2+ax+by=0[/math]

Le coordinate del centro della circonferenza sono

[math]C(-a/2,-b/2)[/math]

e poiché il centro sta sulla retta x+2y-2=0 deve essere

[math]-a/2-b-2=0\Rightarrow a=-2b-4[/math]

Dall'equazione 2x+3y=0 ricaviamo y=-2/3 x, da cui sostituendo nell'equazione della circonferenza

[math]x^2+\frac{4}{9}x^2-(2b+4)x-\frac{2b}{3}x=0[/math]

e quindi

[math]13x^2-12(2b+3)x=0[/math]

Imponendo al discriminante di tale equazione di essere nullo, otteniamo

[math]144(2b+3)^2=0\Rightarrow b=-3/2[/math]

da cui
[math]a=-1[/math]
e l'equazione della circonferenza
[math]x^2+y^2-x-\frac{3}{2}y=0[/math]
.



Problema 2)

Dall'equazione
[math]x^2+y^2+ax+by+c=0[/math]
sostituendo i valori dei punti otteniamo
[math]a+2b+c=-5[/math]
[math]3a+4b+c=-25[/math]

Poiché la circonferenza è tangente alla retta y=0, allora

[math]x^2+ax+c=0[/math]
e imponendo che il discriminante sia nullo
[math]a^-4c=0\Rightarrow c=a^2/4[/math]

Dalle prime due equazioni si trova

[math]4a+8b+a^2=-20\qquad 12a+16b+a^2=-100[/math]

da cui

[math]a^2-4a-60=0[/math]

le cui soluzioni sono
[math]a=10, a=-6[/math]
da cui, essendo pure, sempre dalle prime due
[math]b=-a-10[/math]

[math]b=-20, b=-4[/math]
[math]c=25, c=9[/math]

Le equazioni sono pertanto

[math]x^2+y^2+10x-20y+25=0[/math]
[math]x^2+y^2-6x-4y+9=0[/math]




Problema 3)

La condizione che il centro
[math]C(-a/2,-b/2)[/math]
giaccia sulla retta equivale a dire che
[math]-a/2+b+3=0\Rightarrow a=2b+6[/math]

Le condizioni di tangenza impongono che

[math]x^2+ax+c=0,\qquad y^2+by+c=0[/math]

da cui imponendo che i discriminanti siano nulli

[math]a^2-4c=0,\qquad b^2-4c=0\Rightarrow a^2=b^2,\quad c=b^2/4[/math]

dalla prima equazione

[math]4b^2+24b+36=b^2\Rightarrow b^2+8b+9=0[/math]

le cui soluzioni sono
[math]b=-6, b=-2[/math]

Abbiamo allora

[math]a=-6, a=2[/math]
[math]c=9, c=1[/math]

e le equazioni

[math]x^2+y^2-6x-6y+9=0[/math]
[math]x^2+y^2+2x-2y+1=0[/math]

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (08-05-07 23:37, 9 anni 4 mesi 26 giorni )
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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2 Scrivere l'eq della circonf. tangente all'asse x e passante per i punti (1;2); (3;4).

Allora intanto mettiamo a sistema l'equazione generica della circonferenza e l'equazione dell'asse
[math]x[/math]
.
Pertanto avremo:

[math]\begin{cases} x^2 + y^2 +\alpha x +\beta y +\gamma= 0 \\
y= 0
\end{cases} [/math]

L'equazione risolvente del sistema sarà:

[math] x^2 +\alpha x +\gamma= 0[/math]

e ponendo
[math]\Delta=0[/math]
(Condizione di tangenza)
[math]\alpha^2 - 4\gamma = 0[/math]

Questa è una delle tre condizioni da porre a sistema assieme al passaggio per i due punti in modo da poter ricavare i coefficienti dell'equazione della circonferenza.

Avremo pertanto:

[math]\begin{cases} \alpha^2 - 4\gamma = 0 \\
1 + 4 + \alpha + 2\beta + \gamma = 0 \\
9 + 16 + 3\alpha + 4\beta + \gamma = 0
\end{cases} [/math]

[math]\begin{cases} \alpha^2 - 4\gamma = 0 \\
\gamma = -\alpha - 2\beta - 5 \\
3\alpha + 4\beta -\alpha - 2\beta - 5 + 25 = 0
\end{cases} [/math]

[math]\begin{cases} \alpha^2 - 4\gamma = 0 \\
\gamma = -\alpha - 2\beta - 5 \\
2\alpha + 2\beta + 20 = 0
\end{cases} [/math]

[math]\begin{cases} \alpha^2 - 4\gamma = 0 \\
\gamma = -\alpha - 2\beta - 5 \\
\alpha = -\beta - 10
\end{cases} [/math]

[math]\begin{cases} \alpha^2 - 4\gamma = 0 \\
\gamma = +\beta + 10 - 2\beta - 5 \\
\alpha = -\beta - 10
\end{cases} [/math]

[math]\begin{cases} \alpha^2 - 4\gamma = 0 \\
\gamma = -\beta + 5 \\
\alpha = -\beta - 10
\end{cases} [/math]

[math]\begin{cases} \beta^2 + 100 + 20\beta +4\beta - 20= 0 \\
\gamma = -\beta + 5 \\
\alpha = -\beta - 10
\end{cases} [/math]

[math]\begin{cases} \beta^2 + 24\beta +80= 0 \\
\gamma = -\beta + 5 \\
\alpha = -\beta - 10
\end{cases} [/math]

[math]\begin{cases} \beta_1 = -20 \\
\gamma = 25 \\
\alpha = 10
\end{cases} [/math]

[math]\begin{cases} \beta_1 = -4 \\
\gamma = 9 \\
\alpha = -6
\end{cases} [/math]

Le due equazioni saranno dunque:

[math]1) x^2 + y^2 - 20x + 25y + 10 \\
2) x^ + y^2 - 4x + 9y - 6[/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29101 Punti
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Aleiooooooooooooooooooo!!!!!!!!!

Arrivi tardi..... e cmq, ma te sembra il caso de fa un sistema tanto ingerbugliato? :lol

Semplicità, in matematica, semplicità!
ciaooo
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grazie di cuore...:lol
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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A minimo...ma xkè ce l'hai sempre cn me...? :blush:blush:blush:blush:blush:blush
indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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ciao una curiosità=ma come si fa a scrivere in quel modo cm scrive aleio, ciampax e co.?mi dite cm si fa? grazie ciao
kli
kli - Genius - 21785 Punti
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pillaus ha messo la guida!
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