calimero92
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ciao :hi
quando ho problemi di mate tipo questi come devo ragionare per risolverli??
questi cm si risolvono?
1)Qual'è la cifra delle unita di 1^2+2^2+3^3+...+1996^2?
2)Si ha a disposizione cinque cifre uguali a 1 ed una cifra uguale 2.Usando tutte o alcune di queste cifre,quanti numeri diversi si possono costruire?
3)Un oblò circolare di raggio 20 cm viene grgliato con delle sbarre in modo che i quattro quadrati al centro siano di lato 10cm.Qual'è la lunghezza complessiva delle sbarre?
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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non capisco la sequenza nel primo (cosa ci sta al posto dei puntini?)

2) basta contare in quanti posti puoi mettere il due e tenere conto che puoi anche avere numeri fatti solo di uni:
2 di una cifra
3 di due cifre
4 di 3 cifre
5 di 4 cifre
6 di 5 cifre
7 di 6 cifre

fai la somma e hai il risultato

per il terzo, la difficoltà sta nel determinare la misura dei segmenti che non sono multipli di 10cm.
devi parametrizzare la circonferenza:
x = A*cos(t)
y = A*sen(t)

dove A = 20cm

quando y = 10cm, x = (?). per trovare la misura di un singolo segmento fai quindi la differenza x - 10cm.
per la lunghezza complessiva fai le somme
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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allora continuo a non capire il primo, perchè la sequenza sembrava del tipo n^n. probabilmente 1996^2 è di questo tipo, ma tirare a indovinare n non mi pare di alcuna utilità.

nel terzo, t è un parametro. ti hanno insegnato che le coordinate della circonferenza goniometrica sono x=cos(t) e y=sen(t)?

scusa dovevo scrivere t, ho corretto adesso. t è l'angolo
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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se risolvi il sitema con A = 20:
x = A*cos(t)
y = A*sen(t) = 10
trovi a cos'è uguale t
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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allega il disegno della circonferenza con la griglia e te lo spiego. non posso restare ancora molto, eventualmente aspetta qualcun altro
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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allora per il terzo prova a farti un disegno. basta che inscrivi una circonferenza in un quadrato di lato 40cm, e poi dividi il quadrato in 16 quadratini: al centro della circonferenza hai 4 quadratini di lato 10. se noti, i quadratini sugli angoli del quadrato inziale stanno un po' dentro e un po' fuori dalla circonferenza: il nostro scopo è determinare la somma delle parti di lati che stanno all'interno del cerchio. purtroppo a parole non è facile da spiegare

il primo:

1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2 = 285
questa è la somma dei primi dieci elementi della sequenza. se provi a fare il quadrato di tutti gli altri elementi, vedi che la cifra delle unità è data da un multiplo di 5. ad esempio, prendi i numeri da 50 a 59: 50*50 non dà nessun contributo alle unità. poi 51*51 ha come unità 1, 52*52 ha come unità 4, e così via.
in questo modo la cifra delle unità per la somma di 10 elementi (da 1 a 10, da 11 a 20, da 21 a 30,...)dà sempre 5. per trovare l'unità fino al numero 1990^2 devi sommare 5 un numero di volte pari a 1990/10 = 199, che ti restituisce 5 come cifra delle unità. a questo punto, 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2 = 91, quindi la cifra delle unità sarà 5+1 = 6

edit: corretto soluzione primo problema (somma di quadrati)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Dunque, io ti suggerisco un metodo, ma magari ce ne è uno più veloce. Trovare la cifra delle unità di quella somma, significa sostanzialmente capire quanto vale il resto della divisione di quel numero per dieci. Ad esempio, in 27, poiché 27 diviso 10 da 2 con resto 7, la cifra delle unità è proprio 7. Come puoi procedere allora? Considera che hai dei quadrati. Ora, qualsiasi numero che termini con 1, al quadrato da come cifra delle unità 1, qualsiasi numero termini con 2 , al quadrato da come unità 4... come generalizzare? Se il numero che consideri è

[math]n=10K+x[/math]

dove
[math]0\leq x\leq 9[/math]
e K è un qualsiasi numero maggiore o uguale a zero, allora quello che hai è
[math]n^2=(10K+x)^2=100K^2+20Kx+x^2[/math]

per cui la cifra delle unità di
[math]n^2[/math]
coincide con quella del quadrato di
[math]x[/math]
. Allora hai la seguente tabella
[math]0^2=0,\quad 1^2=1,\quad 2^2=4,\quad 3^2=9,\quad 4^2=16\Rightarrow 6,[/math]
[math]5^2=25\Rightarrow 5,\quad 6^2=36\Rightarrow 6,\quad 7^2=49\Rightarrow 9,\quad 8^2=64\Rightarrow 4,\quad 9^2=81\Rightarrow 1[/math]

che ti dice quali sono le cifre delle unità possibili quando fai i quadrati. A questo punto, conta quanti numeri che terminano per 0,1,2,...,9 ci sono tra 1 e 1996. Tolte le cifre con una unità, osserva che tra
[math]10K+0[/math]
e
[math]10K+9[/math]
c'è esattamente una sola cifra terminante per 0,1,2...,9. Visto che devi partire da K=1 (10 fino a 19) e devi arrivare a K=198 (1980 fino a 1989), tra 10 e 1989 ci sono esattamente 198 cifre ognuna terminate con una diversa unità. In più c'è una cifra da una unità tra 1 e 9 e c'è una cifra terminate con 0,1,2,3,4,5,6 tra 1996. Allora
200 cifre terminanti per 1,2,3,4,5,6,
199 cifre terminanti per 0,7,8,9


e questo vuol dire che, nei quadrati avrai

399 cifre terminanti per 1, 4, 9 (vengono da 1 e 9, 2 e 8, 3 e 7)
400 cifre terminanti per 6 (vengono da 4 e 6)
200 cifre terminanti per 5 (vengono da 5)
199 cifre terminati per 0

Se sommi tali cifre otterrai un numero la cui unità è esattamente quella cercata: hai allora, cancellando tutti i prodotti o le somme che ti danno uno zero finale e riducendo alla sola unità le cifre maggiori di 9

[math]399\cdot(1+4+9)+400\cdot 6+200\cdot 5+199\cdot 0=
399\cdot 4=(390+9)\cdot 4=36=6[/math]

La cifra cercata è allora 6.

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (15-11-09 22:10, 7 anni 19 giorni )
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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uno di noi due ha sbagliato (poco ma sicuro)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Avevo sbagliato io, perché ero convinto di dover fare le somme fino a 1956, e non 1996. Ho corretto! :asd

ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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ok!
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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comunque nel primo esercizio basta notare come ha detto ciampax che i quadrati dei primi 10 numeri hanno come cifra finale rispettivamente

1,4,9,6,5,6,9,4,1,0

e tale sequenza si ripete per 10 numeri alla volta.

Ora sapendo che la somma dei quadrati dei primi 10 numeri ha come cifra delle unità un 5 sappiamo che la somma dei quadrati dei primi 1990 numeri (199*10) è un multiplo dispari di 5 dunque la sua ultima cifra è un 5.

Detto ciò basta aggiungere a 5 le cifre delle unità dei quadrati da 1991 a 1996 che come abbiamo visto sono 1,4,9,6,5,6

quindi si ha 5+1+4+9+6+5+6=36

la cifra cercata è dunque un 6
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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# aleio1 : comunque nel primo esercizio basta notare come ha detto ciampax che i quadrati dei primi 10 numeri hanno come cifra finale rispettivamente

1,4,9,6,5,6,9,4,1,0

e tale sequenza si ripete per 10 numeri alla volta.

Ora sapendo che la somma dei quadrati dei primi 10 numeri ha come cifra delle unità un 5 sappiamo che la somma dei quadrati dei primi 1990 numeri (199*10) è un multiplo dispari di 5 dunque la sua ultima cifra è un 5.

Detto ciò basta aggiungere a 5 le cifre delle unità dei quadrati da 1991 a 1996 che come abbiamo visto sono 1,4,9,6,5,6

quindi si ha 5+1+4+9+6+5+6=36

la cifra cercata è dunque un 6

Per la serie: quello che hai detto si poteva fare molto più semplice! :lol

Bravo aleio!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora, per quanto riguarda la domanda generica, non c'è un metodo, ma, formule a parte, si tratta sempre di analizzare la situazione che ti ritrovi davanti volta per volta e dedurne le conseguenze. Una cosa su cui puoi fare affidamento, a volta, è procedere per esclusione tra le varie risposte, ma non sempre è una cosa facile. Se posti qualche problema di esempio, li possiamo vedere insieme.

PROBLEMA 1)
Indichiamo con
[math]a,b,c[/math]
i valori ottenuti con i tre lanci di dado. Ora, la questione è capire: (i) quante combinazioni diverse di tali valori ottieni con i tre lanci, (ii) quante di queste danno cinque.
(i) Poiché ogni valore a,b,c varia da 1 a 6, le possibili combinazioni sono uguali a
[math]6\cdot 6\cdot 6=6^3[/math]
6= numeri del dado, 3=lanci del dado.
(ii) Per determinare tutte le combinazioni utili, osserva che
[math]3\leq a+b+c\leq 18[/math]
Ora, si ottiene 3 solo quando a=b=c=1, si ottiene 4 solo se un valore vale 2 e due valori valgono 2 (quindi 3 casi, uno per ogni lancio), si ottiene 5 solo se due valori valgono 2 e uno vale 1 (anche qui 3 casi). Allora si ottiene un numero minore uguale a 5 solo in 1+3+3=7 casi.

La probabilità allora è pari a
[math]7/6^3[/math]
. Ora, sinceramente, non capisco quale risposta scegliere. La probabilità, per definizione, è un numero minore di 1 (1 indica che hai la certezza assoluta) quindi le risposte non hanno molto senso. Forse si richiedeva quante "possibilità" ci sono che esca un valore minore o uguale a 5?

PROBLEMA 2
Partiamo dalla prima frase della ragazza: se fosse davvero un furfante, non lo potrebbe mai ammettere, e quindi non è una furfante. Ovviamanete, non è neanche un cavaliere, altrimenti avrebbe affermato di esserlo. Quindi la ragazza è un paggio. Ma allora, visto che la prima frase è falsa, la seconda è vera, quindi anche il vecchio è un paggio. Ora, questo implica che, essendo la prima frase del vecchio vera, la seconda frase è falsa, e quindi il ragazzo non è un cavaliere. Ne segue che, essendo le frasi del ragazzo la prima falsa e la seconda vera, anche lui è un paggio. Quindi tutti e 3 sono paggi.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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1) Indica con P il prezzo di partenza. Allora dopo un giorno hai

[math]P_1=P-P\cdot\frac{10}{100}=\frac{9}{10} P[/math]

mentre dopo due giorni si ha

[math]P_2=P_1+P_1\cdot\frac{10}{100}=\frac{11}{10} P_1=\frac{99}{100} P[/math]

Questo vuol dire che sono diminuite dell'1 percento.


La seconda non capisco l'espressione. Potresti riscriverla usando il latex? (trovi la spiegazione dei comandi nelle due discussioni in evidenza della sezione matematica.

Ah, e per quanto riguarda il primo, visto che

[math]7/6^3=7/216\approx 0,0302\approx 3 %[/math]

la risposta esatta è la B.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Suppongo che i +1 siano ad esponente, altrimenti è un gran casino!

Le due equazioni possono essere riscritte come

[math]2^x=2^{2y+2},\qquad 3^{3y}=3^{x+1}[/math]

da cui

[math]x=2y+2,\qquad 3y=x+1[/math]

e risolvendo

[math]3y=2y+3\Rightarrow y=3,\ x=8,[/math]

da cui
[math]x+y=11[/math]
.

Pagine: 12

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