P3pP3
P3pP3 - Sapiens Sapiens - 910 Punti
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1) Abbiamo queste 3 equazioni:
r): y = 2
s): 4x - 3y + 2 = 0
t): x + y - 10 = 0
Si sa che r ed s rappresentano le rette sulle quali giacciono i lati di un parallelogramma e che t è la retta alla quale appartiene una diagonale. Determina perimetro e area del parallelogramma.



2)Del triangolo ABC sono noti i vertici A(1,1) e B(15,8 ) e l'incentro F(3,7). Determina le coordinate del punto C.(Suggerimento:l'incentro è equidistante dai lati del triangolo) Verifica poi che il triangolo è rettangolo e trova il circocentro D.


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minimo
minimo - Genius - 4940 Punti
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1) Abbiamo queste 3 equazioni:
r): y = 2
s): 4x - 3y + 2 = 0
t): x + y - 10 = 0
Si sa che r ed s rappresentano le rette sulle quali giacciono i lati di un parallelogramma e che t è la retta alla quale appartiene una diagonale. Determina perimetro e area del parallelogramma.


allora calcola l'intersezione della retta
[math]t[/math]
con le rette
[math]r[/math]
ed
[math]s[/math]
. Otterrai rispettivamente i punti
[math]P[/math]
e
[math]Q[/math]
. Poi calcola l'intersezione delle due rette
[math]r[/math]
ed
[math]s[/math]
ottenendo il punto
[math]N[/math]
.
I tre punti
[math]P[/math]
,
[math]Q[/math]
ed
[math]N[/math]
formano un triangolo che non è altro che la metà del parallelogramma suddetto.
Calcola la distanza tra il punto
[math]P[/math]
e la retta
[math]s[/math]
ed avrai l'altezza del triangolo.
Calcola la distanza tra i punti
[math]P[/math]
ed
[math]N[/math]
ed avrai la base del triangolo
base x altezza ed otterrai l'area del parallelogramma.

Calcola la distanza tra
[math]Q[/math]
ed
[math]N[/math]
ed avrai la misura dell'altro lato del triangolo.
Moltiplica per
[math]2[/math]
la distanza
[math]QN[/math]
sommaci 2 volte la base (distanza
[math]PN[/math]
) ed otterrai il perimetro.

2)Del triangolo ABC sono noti i vertici A(1,1) e B(15,8 ) e l'incentro F(3,7). Determina le coordinate del punto C.(Suggerimento:l'incentro è equidistante dai lati del triangolo) Verifica poi che il triangolo è rettangolo e trova il circocentro D.


Allora scriviamo l'equazione della retta per
[math]A[/math]
e
[math]B[/math]

[math]x-7y+1=0[/math]

la distanza di
[math]F[/math]
dalla retta
[math]AB[/math]
è
[math]r=\frac{3-49+1}{\sqrt{1+49}}=\frac{45}{5\sqrt{2}}=\frac{9}{\sqrt{2}}[/math]

Adesso calcola l'equazione del cerchio di raggio
[math]r[/math]
e centro
[math]F[/math]

[math](x-3)^{2}+(y-7)^{2}=(\frac{9}{\sqrt{2}})^{2}[/math]

cioè

[math]2(x-3)^{2}+2(y-7)^{2}=81[/math]

l'intersechi con la retta di centro
[math]A[/math]

[math]y=m(x-1)+1[/math]

e calcoli per quale valore di m è nullo il discriminante dell'equazione

[math]2(x-3)^{2}+2[m(x-1)-6]^{2}-81=0[/math]

Allora uno dei due valori di
[math]m[/math]
dà la retta per
[math]A[/math]
e
[math]B[/math]
, l'altro la retta su cui si trova un lato del triangolo.
Poi fai l'intersezione della circonferenza con il fascio improprio per
[math]B[/math]
e ti determini l'altra retta su cui giace l'altro lato del triangolo.
Intersecando queste due nuove rette puoi trovarti il punto
[math]C[/math]

Per capire se il trinagolo è rettangolo basta guardare i coefficienti angolari delle rette AB, BC e AC (le cui equazioni devono essere messe in forma esplicita). Fai il prodotto dei coefficienti angolari quando il risultato è -1hai messo le mani su due rette ortogonali e quindi hai provato che il triangolo è rettangolo.

Se il triangolo è rettangolo allora in circocentro è il punto medio dell'ipotenusa.
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