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x le vacanze.....possibilmente gradirei la spiegazione...

1) determina le equazioni delle circonferenza passanti per i punti A(1,3) e B(5, -3)e aventi raggio r = radicedi26

2)trova la misura della corda individuata dalla circonferenza x^ + y^2 - x -7/3 y - 2 = 0 sulla retta y = 3x

nel 2° nn s devono mettere a sistema e poi trovare la distanza fra i due punti??

grazie
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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1) Determina le equazioni delle circonferenza passanti per i punti A(1,3) e B(5, -3) e aventi raggio r=radicedi26

Sappiamo che
[math]A(1;3)[/math]
,
[math]B(5;-3)[/math]
e
[math]r=\sqrt{26}[/math]
.
Sia il centro della circonferenza
[math]O(a;b)[/math]
.
Ora calcoliamo la distanza esistente tra il punto A e il centro O e la eguagliamo al raggio; per comodità, anzichè lavorare con le radici elevo al quadrato subito:

[math](X_A-a)^2+(Y_A-b)^2=r^2\\(1-a)^2+(3-b)^2=\sqrt{26^2}\\a^2-2a+1+b^2-6b+9=26\\a^2+b^2-2a-6b-16=0[/math]

Ripetiamo la stessa operazione per calcolare la distanza tra il punto B e il centro O, sempre ovviamente uguale alla misura del raggio:

[math](X_B-a)^2+(Y_B-b)^2=r^2\\(5-a)^2+(-3-b)^2=\sqrt{26^2}\\a^2-10a+25+b^2+6b+9=26\\a^2+b^2-10a+6b+8=0[/math]

Mettiamo a sistema le due equazioni trovate:

[math]\begin{cases} a^2+b^2-2a-6b-16=0 \\ a^2+b^2-10a+6b+8=0
\end{cases}[/math]

Risolviamo per riduzione e trovi:

[math]\begin{cases} a^2+b^2-2a-6b-16=0 \\ 2a-3b-6=0
\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases} a^2+b^2-2a-6b-16=0 \\ a=\frac{6+3b}{2}
\end{cases}[/math]

Ora risolviamo per sostituzione:

[math]\begin{cases} (\frac{6+3b}{2})^2+b^2-2(\frac{6+3b}{2})-6b-16=0 \\ a=\frac{6+3b}{2}
\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases} \frac{36+36b+9b^2}{4}+b^2-6-3b-6b-16=0 \\ a=\frac{6+3b}{2}
\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases} \frac{36+36b+9b^2+4b^2-24-12b-24b-64}{4}=0 \\ a=\frac{6+3b}{2}
\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases} 13b^2-52=0 \\ a=\frac{6+3b}{2}
\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases} b^2=4 \\ a=\frac{6+3b}{2}
\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases} a=\frac{6+3b}{2} \\ b=\pm2
\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases} a_1=6 \\ b_1=2
\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases} a_2=0 \\ b_2=-2
\end{cases}[/math]

Infine, prendiamo un punto qualsiasi
[math]P(x;y)[/math]
e poniamo la distanza dal centro uguale alla misura del raggio. Otteniamo due circonferenze:
Con
[math]O(6;2)[/math]
:
[math](x-6)^2+(y-2)^2=26\\x^2-12x+36+y^2-4y+4-26=0\\x^2+y^2-12x-4y+16=0[/math]

Con
[math]O(0;-2)[/math]
:
[math](x-0)^2+(y+2)^2=26\\x^2+y^2+4y+4-26=0\\x^2+y^2+4y-22=0[/math]
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P3pP3 - Sapiens Sapiens - 910 Punti
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grazie..qualk1 può risolvere il 2 per favore?
IPPLALA
IPPLALA - Mito - 101142 Punti
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Ma Super così allunghi solo...

Allora poichè A appartiene alla circonferenza come B fai la condizione di appartenenza...

A(1,3)

A appartiene all equazione X^2+y^2+ax+by+c=0 ---> 1+9+a+3b+c=0

B(5, -3)

B appartiene all equazione X^2+y^2+ax+by+c=0 -----> 25+9+5a-3b+c=0

Poichè sai che il raggio è radice di 26

sai che r= radice di alpaha^2+beta^2 - c

allora radice di alpha^2+beta^2 - c= radice di 26

elevi amo i membri al quadrato

alpha^2+beta^2 - c=26

Metti a sistema le tre condizioni per verficarle contemporaneamente e trovi a b e c
1)25+9+5a-3b+c=0
2)1+9+a+3b+c=0
3)alpha^2+beta^2 - c=26


2)Allora....

Devi trovare la corda che si forma con l'intersezione della circonferenza con la retta

metti a sistema l'equazione della circonferenza e la retta per trovare i punti di intersezione retta-circonferenza....

Alla fine del sistema viene questa equazione

[math]5x^2-4x-1=0[/math]

Con la formula risolutiva trovi le due x

poi dai la distanza punto-punto, trovi la lunghezza della corda

Questa risposta è stata cambiata da SuperGaara (23-08-07 16:37, 9 anni 3 mesi 21 giorni )
P3pP3
P3pP3 - Sapiens Sapiens - 910 Punti
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viene 1 equazione.......?...nn la vedo....
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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Ho modificato il messaggio di Ipplala, così si vede!

Ipplala il secondo tag è /math non \math

Per quanto riguarda il primo problema, io non l'ho ancora fatta la circonferenza a scuola e quindi non so se ci sono formule particolare per farlo, semplicemente ho usato l'intuito e seguito un'altra strada. E poi non mi sembra tanto più lungo, visto che cmq come dici tu viene fuori un sistema di 3 equazioni!
IPPLALA
IPPLALA - Mito - 101142 Punti
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SuperGaara : Ho modificato il messaggio di Ipplala, così si vede!
Ipplala il secondo tag è /math non \math

Grazie....

SuperGaara : Per quanto riguarda il primo problema, io non l'ho ancora fatta la circonferenza a scuola e quindi non so se ci sono formule particolare per farlo, semplicemente ho usato l'intuito e seguito un'altra strada. E poi non mi sembra tanto più lungo, visto che cmq come dici tu viene fuori un sistema di 3 equazioni!
Certo certo, infatti non t'ho detto niente, solo che forse P3pP3 probabilmente doveva risolvere con le formule delle circonferenze...

p.s: Bravo! ;)
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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Eh infatti supponevo ci fosse qualche formula particolare...vabbè dai così P3pP3 deciderà quale gli va meglio ;)
IPPLALA
IPPLALA - Mito - 101142 Punti
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Che impapita che sono con il latex... Ok Super! :hi
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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Eheheh vabbè dai imparerai...è tutta questione di pratica, fidati, anch'io all'inizio ero in difficoltà!
pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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se un problema è sulla circonferenza è logico ke si devono usare qlle formule...

sto lavorando io sl 2°!!
IPPLALA
IPPLALA - Mito - 101142 Punti
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Vabbè, Gaara non aveva fatto la circonferenza... quella è geometria anaitica pura ed algebra!
pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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[math]\begin{cases} x^2+y^2-x-7/3y-2=0 \\ y=3x \end{cases}[/math]
[math]\begin{cases}x^2+9x^2-x-7x-2=0 \\ y=3x \end{cases}[/math]
[math]\begin{cases}10x^2-8x-2=0 \\y=3x \end{cases}[/math]
[math]\begin{cases} 5x^2-4x-1=0\\y=3x \end{cases}[/math]
[math] x1, 2= \frac{2\pm\sqrt{4+5}}{5}[/math]
[math] x1, 2= \frac {2\pm\3}{5}[/math]
[math]\begin{cases}x1= 1 \\ y1=3\end{cases}[/math]
[math]\begin{cases}x2= -1/5 \\ y2=-3/5\end{cases}[/math]
ora hai trovato i due punti, nn devi far altro ke calcolare la distanza fra questi e hai finito!
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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pukketta : se un problema è sulla circonferenza è logico ke si devono usare qlle formule...

Hahaha ti prego non farmi ridere! Chi lo dice che in matematica BISOGNA fare in un modo??!! Anzi, la geometria analitica è bella proprio perchè ci sono tanti metodi e tante strade diverse per risolvere uno stesso problema! Io non ho fatto quelle formule, ma vedo che sono riuscito comunque a risolvere il problema: per di più avevo trovato anche un altro modo per risolverlo, dove bastava trovare l'equazione dell'asse del segmento AB, prendere un punto P(x;y) appartenente a quell'asse e porre la distanza di quel punto da A uguale al raggio! Insomma ci sono tantissime possibilità, non è assolutamente vero che devi usare per forza le formule della circonferenza!
pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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si ma si tratta di esercizi mirati nn di esercizi campati in aria!!...conta anke la velocità cn cui lo fai....
super nn cambiare i miei mess, ci lavoro io!

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