Lotek
Lotek - Ominide - 44 Punti
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Ciao! L'ultimo esercizio sui vettori che mi causa qualche problema è relativo al doppio prodotto vettoriale.

In questo caso ho i vettori
[math]u = (1,a,-2)[/math]
,
[math]v = (-b,3,3c)[/math]
,
[math]w = (2b,-1,c)[/math]
. Devo stabilire per quali valori di
[math]a[/math]
,
[math]b[/math]
e
[math]c[/math]
il doppio prodotto vettoriale
[math]u \times (v \times w) = 0[/math]
.
1. Ho pensato di utilizzare la seguente proprietà del doppio prodotto vettoriale:
[math]u \times (v \times w) = \left \langle u, w \right \rangle v - \left \langle u, v \right \rangle w[/math]
.
2. Facendo qualche calcolo risulta
[math]\left \langle u, w \right \rangle = -a + 2b - 2c[/math]
e
[math]\left \langle u, v \right \rangle = 3a - b - 6c[/math]
. Quindi, dovrei imporre
[math](-a + 2b - 2c)(-b,3,3c) - (3a - b - 6c)(2b,-1,c) = 0[/math]
.
Sto proseguendo nella giusta direzione? Più vado avanti più l'equazione di allarga...

Inoltre, chi sarebbe così gentile da spiegarmi come si è ricavata la formula
[math]u \times (v \times w) = \left \langle u, w \right \rangle v - \left \langle u, v \right \rangle w[/math]
che ho utilizzato?
Io so solo che...

[math]u = \sum_{i=1}^{n}u_ie_i[/math]

[math]v = \sum_{j=1}^{n}v_je_j[/math]

[math]w = \sum_{k=1}^{n}w_ke_k[/math]

Il libro afferma che per la linearità del prodotto vettoriale potrei scrivere in questo modo:

[math]u \times (v \times w) = \sum_{i,j,k=1}^{n}u_i v_j w_k[e_i \times (e_j \times e_k)][/math]

Però non capisco il perché...
[math]e_j \times e_k = e_i[/math]
, corretto? Quindi se eseguo il prodotto vettoriale di
[math]e_i[/math]
per se stesso, il risultato sarebbe un vettore nullo. Non avrebbe quindi senso...
Aggiunto 14 ore 53 minuti più tardi:

Grazie! Quindi calcolo il doppio prodotto vettoriale e poi dico che il vettore
[math]u[/math]
può essere espresso come sua combinazione lineare.
Per quanto riguarda la formula che ho scritto, pensavo che dentro le parentesi quadre ci fosse il doppio prodotto vettoriale dei tre versori degli assi cartesiani, che sono mutuamente ortogonali. Il tensore di Levi-Civita (ho dato una sbirciatina a Wikipedia) probabilmente lo studierò in seguito, ma nella prima parte (in cui non si è mai parlato prima di tensori) è dimostrato il modo alternativo di calcolare il doppio prodotto vettoriale.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Il tuo metodo di procedere non è sbagliato, ma forse diventa più semplice ragionare in questo modo: dire che
[math]u\times(v\times w)=0[/math]
implica che i due vettori
[math]u,\ v\times w[/math]
sono paralleli e questi equivale a dire che esiste
[math]\lambda\in\mathbb{R}[/math]
tale che
[math]v\times w=\lambda u[/math]
. Allora puoi scrivere
[math]\lambda(1,a,-2)=(6c,7bc,-5b)[/math]

e quindi

[math]\lambda=6c,\quad a\lambda=7bc,\quad 2\lambda=5b[/math]

da cui

[math]6ac=7bc,\quad 12c=5b\ \Rightarrow\ a=\frac{7b}{6},\ c=\frac{5b}{12}[/math]

al variare di
[math]b\in\mathbb{R}[/math]
.
Per quanto riguarda la dimostrazione di quella formula, fai un ragionamento sbagliato, in quanto devi tenere conto che gli indici
[math]i,j,k[/math]
variano in ogni modo possibile: questo vuol dire che puoi avere sia indici uguali che indici diversi e quindi non necessariamente il valore zero. Secondo me, per dimostrare quella cosa, ti conviene osservare che un modo formale per scrivere il prodotto vettoriale è il seguente
[math]v\times w=\det\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k \\ v_1 & v_2 & v_3\\ w_1 & w_2 & w_3
\end{array}\right|[/math]

dove ho indicato le componenti dei vettori con gli indici e, da questa, fare un po' di conti. Se vuoi usare il suggerimento del libro, dovresti sapere come opere quello che si chiama Tensoro di Levi-Civita totalmente asimettrico... ma non so se fa parte del programma da te studiato.
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