feanar
feanar - Ominide - 34 Punti
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Salve a tutti. Ho fatto quest'esercizio e volevo sapere se era corretto più un paio di cose.

lim x->4+ 2-x/x-4 = -infinito

-(2-x/x-4)>M
-(2-x/x-4)-M>0
-[2-x-M(x-4)/x-4]>0
-(2-x-Mx+4M)/x-4]>0
-[x(-1-M)+2+4M]/x-4]>0

Num x(-1-M)+2+4M>0 -> x(-1-M)>-2-4M -> x>-2-4M/-1-M
Den x-4>0 -> x>4

Faccio il grafico e mi viene l'intorno -(-2-4M/-1-M); +infinito

Intanto vorrei sapere se c'è qualche errore. Sopratutto se ho sbagliato a non togliere il meno all'inizio della disequazione.
Sono alle prime armi con la matematica ed ho fatto questo esercizio meccanicamente ma vorrei capire fondamentalmente a che serve e cosa mi rappresenta quel -(-2-4M/-1-M) che mi sono trovato alla fine: cioè se è u punto sull'asse delle ordinate come penso io oppure e qualcos'altro.

Vi ringrazio in anticipo. Ciao ^_^
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Dunque, riscrivo ciò che hai postato perché risulta un po' complesso da leggere così. Vuoi dimostrare che

[math]\lim_{x\to 4^+}\frac{2-x}{x-4}=-\infty[/math]

Per definizione devi verificare che

[math]\forall\ M>0\ \exists\ \delta_M>0\ :\ \forall\ x\in(4,4+\delta_M)\ \Rightarrow\ \frac{2-x}{x-4}<-M[/math]

Ora, quello che devi trovare è il valore di
[math]\delta_M[/math]
e verificare che per tale valore le x si trovano in un intorno destro del punto
[math]x_0=4[/math]
, e non un intorno di meno infinito!
Risolviamo la disequazione:

[math]\frac{2-x}{x-4}<-M\ \Rightarrow\ \frac{2-x+Mx-4M}{x-4}<0,\ \Rightarrow\ \frac{(M-1)x-4M+-2}{x-4}<0[/math]

per cui si ha per numeratore e denominatore rispettivamente, supponendo che
[math]M[/math]
sia molto più grande di 1, e quindi che
[math]M-1>0[/math]

[math]N:\ (M-1)x-4M+2>0\ \Rightarrow\ x>\frac{4M-2}{M-1}[/math]
[math]D:\ x-4>0\ \Rightarrow\ x>4[/math]

Osserva che

[math]\frac{4M-2}{M-1}=\frac{4M-4+2}{M-1}=4+\frac{2}{M-1}[/math]

e quindi posto
[math]\delta_M=\frac{2}{M-1}>0[/math]
ottieni le soluzioni per la disequazione
[math]4<x<4+\frac{2}{M-1}[/math]

che è proprio il tipo di intorno cercato. Se hai problemi, non esitare a chiedere.
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