Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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si ha la seguente funzione
[math]\(1+\frac{1}{n}\)^{n+1} [/math]
che ha per limite e.
Dimostrarne la decrescenza usando la disuguaglianza di bernoulli.

tentata risoluzione: la tesi può riscriversi come
[math]\(1+\frac{1}{n}\)^{n+1}\(1+\frac{1}{n}\) >\(1+\frac{1}{n+1}\)^{n+2} [/math]
Dividiamo entrambi i membri per 1+1/n
[math]\(1+\frac{1}{n}\)^n >\frac{\(1+\frac{1}{n+1}\)^{n+2}}{\(1+\frac{1}{n}\)[/math]

Aggiunto 13 minuti più tardi:

la disuguaglianza di bernoulli
[math](1+x)^n>=1+nx [/math]
Ponendo x = 1/n si otterrà
[math] \(1+\frac{1}{n}\)^{n}>=1+n\frac{1}{n}=2 [/math]
Tutto quindi si ridurrebbe a dimostrare che quella mega frazione al secondo membro è > 2.
Si noti che aumentando il denominatore si ottiene evidentemente una quantità più piccola, cioè
[math]\frac{\(1+\frac{1}{n+1}\)^{n+2}}{\(1+\frac{1}{n}\)} >\frac{\(1+\frac{1}{n+1}\)^{n+2}}{\(1+\frac{1}{n}\)^{n+2]} [/math]

Aggiunto 6 minuti più tardi:

il secondo membro si riduce in
[math]\(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\)^{n+2}=\(\frac{n^2+2n}{(n+1)^2}\)}^{n+2}[/math]
piu proseguo piu la tesi mi sembra lontana, aiutatemi...
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Io ti scrivo la dimostrazione che uso a lezione, poi vedi tu.

Per prima cosa, ricordiamo la formula del binomio del tuo omonimo (:asd)
[math](1+x)^n=\sum_{k=0}^n\left(\array n \\ k\right)\ x^k[/math]

dove
[math]\left(\array n \\ k\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/math]
è il coefficiente binomiale. Ora possiamo scrivere
[math]\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)\ \left(\frac{1}{n+1}\right)^k\\
=\sum_{k=0}^{n1}\left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)\ \left(\frac{1}{n+1}\right)^k+\left(\begin{array}{c} n+1 \\ n+1\end{array}\right)\ \left(\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}[/math]

e poiché
[math]\left(\begin{array}{c} n+1 \\ n+1\end{array}\right)=1,\quad \left(\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}>0[/math]
si ha pure
[math]>\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)\ \left(\frac{1}{n+1}\right)^k[/math]

Facciamo ora una considerazione sui coefficienti binomiali: si ha, dalla definizione,

[math]\left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)=\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}=\frac{(n+1)\ n!}{k!(n+1-k)(n-k)!}=\frac{n+1}{n+1-k}\ \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)[/math]

e quindi

[math]\left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)=\frac{n+1-k}{n+1}\ \left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)=\left(1-\frac{k}{n+1}\right)\ \left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)[/math]

Ora, dal momento che la disuguaglianza di Bernoulli permette di affermare che

[math]\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^k\geq 1-\frac{k}{n+1}[/math]

segue anche che

[math]\left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)=\left(1-\frac{k}{n+1}\right)\ \left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)\leq\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^k\ \left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)[/math]

da cui

[math]\left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)\leq\left(\frac{n}{n+1}\right)^k\ \left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)[/math]

e anche

[math]\left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)\geq \frac{(n+1)^k}{n^k}\ \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)[/math]

Ritornando al calcolo iniziale avremo allora

[math]\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}>\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)\ \left(\frac{1}{n+1}\right)^k\\
\geq\sum_{k=0}^{n}\frac{(n+1)^k}{n^k}\ \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)\ \left(\frac{1}{n+1}\right)^k=\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)\ \frac{1}{n^k}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/math]

che prova quanto volevi dimostrare.

Aggiunto 12 minuti più tardi:

Azz, mi sono reso conto che ho dimostrato che
[math]\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}[/math]
è crescente. Se aspetti oggi pomeriggio, ti risolvo il tuo problema.

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (11-05-10 13:52, 6 anni 7 mesi 2 giorni )
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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sicuro non c'è strada un pò piu facile? Nel modo in cui stavo pensando io non c'è possibilità di riuscita?
adry105
adry105 - Genius - 3918 Punti
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Si c'è, utilizzando la diseguaglianza di Bernoulli! :P Ora ti allego l'immagine con la dimostrazione e mi fai sapere :) >>> http://www.megaupload.com/?d=PNCJ8CSK
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Adry, una nota a ciò che hai scritto:

[math]\frac{1}{n(n+1)}>0[/math]

per ogni numero naturale n, quindi è anche maggiore di -1. non devi fare nessuna "imposizione": quella cosa è vera.
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