civicgirl
civicgirl - Erectus - 67 Punti
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[math]=\sum_{n=1}^\infty\{log(k^2-3k+2)}^n[/math]

Qualcuno può dirmi per quali valori di k la serie risulta convergente, divergente o oscillante.

grazie a tutti
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Quella che hai è una serie geometrica di ragione

[math]q=\log(k^2-3k+2)[/math]

Essa converge per

[math]|q|<1\ \Rightarrow\ |\log(k^2-3k+2)|<1[/math]

e quindi per i valori di
[math]k[/math]
che risolvono il sistema di disequazioni
[math]\left\{\begin{array}{l}
\log(k^2-3k+2)>-1\\ \log(k^2-3k+2)<1
\end{array}\right.[/math]

Se hai problemi a risolverlo, fammi sapere.
civicgirl
civicgirl - Erectus - 67 Punti
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allora... nel risolvere questo sistema devo anche calcolare l'esistenza del logaritmo e poi confrontarlo con i risultati del sistema, giusto?

Aggiunto 23 minuti più tardi:

allora... io ti scrivo il procedimento che ho adottato.. potresti controllare se è giusto x favore?

ho imposto l'esistenza del logaritmo quindi
[math]k^2-3k+2>0[/math]

e risolvendo poi il sistema ottengo che:
la prima disequazione è verificata
[math]\forall\ k \in\R[/math]

la seconda risulta verificata per un intervallo compreso tra k1 e k2.
mettendo a confronto l'esistenza ed il risultato ottendo che
[math]k \in\ ]2;\frac\((3+sqrt(1+4e))/2)[/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Il sistema equivale a questo

[math]\left\{\begin{array}{l}
k^2-3k+2>0\\ k^2-3k+2>e^{-1}\\ k^2-3k+2>e
\end{array}\right.[/math]

Se osservi attentamente, la terza disequazione mangia le altre due: Infatti il sistema presenta la funzione
[math]f(k)=k^2-3k+2[/math]
maggiore dei tre valori
[math]0,e^{-1}, e[/math]
. Visto che
[math]e>e^{-1}>0[/math]
segue che l'ultima disequazione predomina sulle altre due, per cui devi risolvere solo la disequazione
[math]k^2-3k+2-e>0[/math]

la cui soluzione è
[math]k<\frac{3-\sqrt{1+4e}}{2},\qquad k>\frac{3+\sqrt{1+4e}}{2}[/math]
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