ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Queste sono le due tracce (da 6 e 12 CFU) che ho dato all'esame del giorno 03/02/2010 agli studenti di Matera. Se vi fa piacere, provate a risolverle e se volete, ne discutiamo.

Traccia 6 CFU
Esercizio 1 Calcolare i limiti delle seguenti successioni al variare del parametro
[math]\alpha\in\mathbb{R}[/math]
:
[math](i)\ a_n=\frac{\log|\alpha n|}{n^\alpha},\qquad (ii)\ b_n=\left(\frac{2\sin\alpha-1}{\sin\alpha}\right)^n.[/math]

Determinare poi il carattere delle seguenti serie
[math](iii)\ \sum_{n=1}^{+\infty} a_n,\qquad (iv)\ \sum_{n=0}^{+\infty} b_n.[/math]

Esercizio 2
Studiare la seguente funzione:

[math]f(x)=\log\left(\frac{|x-1|}{x+2}\right).[/math]

Si determini poi l'ordine di infinitesimo della funzione precedente per
[math]x\rightarrow+\infty[/math]
.
Esercizio 3 Determinare per quali valori dei parametri
[math]\alpha,\beta,\gamma\delta\in\mathbb{R}[/math]
la seguente funzione risulta continua e derivabile su tutto l'asse reale:
[math]\left\{\begin{array}{lcl}
\displaystyle\frac{x^3-x}{(x+1)(x-\alpha)} & & x<-1\\ & & \\
\beta x+\gamma & & -1\leq x\leq 1\\ & & \\
\displaystyle\frac{\sin[\delta(x-1)]}{x-1} & & x>1
\end{array}\right.[/math]

La funzione ammette asintoti obliqui?


Traccia 12 CFU

Esercizio 1 Calcolare il limite della seguente successione al variare del parametro
[math]\alpha\in\mathbb{R}[/math]
:
[math](i)\ a_n=\frac{\log|\alpha n|}{n^\alpha}.[/math]

Determinare poi il carattere della seguente serie al variare del parametro
[math]\alpha\in\mathbb{R}[/math]

[math](ii)\ \sum_{n=0}^{+\infty} a_n.[/math]

Esercizio 2
Studiare la seguente funzione:

[math]f(x)=\log\left(\frac{|x-1|}{x+2}\right).[/math]

Esercizio 3
Determinare lo sviluppo di MacLaurin della funzione

[math]f(x)=\sin\left(\log(1+2x)\right)-\frac{1}{2}\log\left(1+\sin(4x)\right),[/math]

arrestato al terzo ordine. Cosa si può dire del punto
[math]x=0[/math]
? Risulta un minimo, massimo, flesso, o altro?
Esercizio 4
Si calcoli il seguente integrale indefinito:

[math]\int\frac{3x^3+3x+4}{x^4+5x^2+4}\ dx.[/math]

Esercizio 5
Si determini l'insieme di continuità e derivabilità della seguente funzione

[math]f(x)=\arcsin\sqrt{2x^2-3}.[/math]
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