ale92t
ale92t - Genius - 4788 Punti
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Salve ragazzi

Mi servirebbe sapere in parole povere quando una forma quadratica definita da una matrice simmetrica di ordine n>2 è definita positiva, negativa, semidefinita positiva, negativa o indefinita secondo il teorema di Sylvester Jacobi.

Grazie in anticipo
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora, ti elenco tutti i risultati che ricordo relativamente alle forme quadratiche. Per prima cosa un paio di notazioni: indico con
[math]Q=[a_{ij}][/math]
la forma quadratica. Inoltre indico con
[math]\Delta_j=\det\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{j1} & a_{j2} & \ldots & a_{jj}
\end{array}\right|[/math]


i minori principali della matrice mentre con

[math]Q_{hk}=(-1)^{h+k}\det\left|\begin{array}{cccccc}
a_{11} & \ldots & a_{1,k-1} & a_{1,k+1} & \ldots & a_{1n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
a_{h-1,1} & \ldots & a_{h-1,k-1} & a_{h-1,k+1} & \ldots & a_{h-1,n}\\
a_{h+1,1} & \ldots & a_{h+1,k-1} & a_{h+1,k+1} & \ldots & a_{h+1,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
a_{n1} & \ldots & a_{n,k-1} & a_{n,k+1} & \ldots & a_{nn}
\end{array}\right|[/math]


i minori (alla Laplace) rispetto all'elemento
[math]a_{hk}[/math]
. Ovviamente, per estensione, con
[math]A_{IJ}=A_{i_1,\ldots,i_k;j_1,\ldots,j_k}[/math]
indichiamo i minori in cui abbiamo eliminato le righe e le colonne indicate. Allora valgono i seguenti risultati

[math]Q>0\ \Leftrightarrow\ \Delta_j>0,\ \forall\ j=1,\ldots,n[/math]

[math]Q<0\ \Leftrightarrow\ (-1)^j\Delta_j>0,\ \forall\ j=1,\ldots,n[/math]

[math]Q\ge 0\ \Leftrightarrow\ A_{IJ}\ge 0\ \forall\ I,J[/math]

[math]Q\le 0\ \Leftrightarrow\ A_{IJ}\le 0\ \forall\ I.J[/math]


Ovviamente, la forma è indefinita quando nessuna delle precedenti condizioni necessarie e sufficienti vale.

Se hai domande chiedi pure.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Mi sembra che definisca tutte le casistiche: http://it.wikipedia.org/wiki/Forma_quadratica#Carattere_di_definizione_di_una_forma_quadratica
ale92t
ale92t - Genius - 4788 Punti
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Scusa ma non mi trovo. Io dalla spiegazione del professore ho capito che bisogna calcolare i determinanti delle sottomatrici principali nord-ovest e analizzare la positività o negatività degli stessi. Se tutti i determinanti delle matrici sono >0 allora la matrice è definita positiva e di conseguenza il punto è di minimo locale; se i determinanti seguono l'andamento <0 >0 <0...è definita negativa e il punto è di massimo locale. Mi mancano i casi della semidefinita positiva e negativa che non ho fatto in tempo a scrivere e non trovo da nessuna parte...
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Studiare gli autovalori o i segni dei determinanti delle sottomatrici principali è equivalente. Al momento sono impegnato, ma se aspetti fino a domani, ti posto un quadro completo della cosa.
ale92t
ale92t - Genius - 4788 Punti
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Ok grazie :)
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