civicgirl
civicgirl - Erectus - 67 Punti
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Salve a tutti...
devo risolvere un problema alquanto complicato..
Mediante il teorema di Lagrange dimostrare che comunque considero x ed y
risulta sempre valida tale diseguaglianza

|sinx-siny|
[math]\le\[/math]
|x-y|
grazie a tutti...
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora, per prima cosa enunciamo il teorema di Lagrange:
Sia
[math]f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}[/math]
una funzione continua sul suo dominio e derivabile in
[math](a,b)[/math]
. Allora esiste un punto
[math]c\in(a,b)[/math]
tale che
[math]f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/math]

Adesso, sia
[math]f(x)=\sin x[/math]
la funzione definita su un qualsiasi intervallo
[math][X,Y][/math]
(con
[math]X<Y[/math]
). Dal momento che la funzione seno è continua e derivabile su tutto l'asse reale, allora esiste sempre un punto
[math]z\in(X,Y)[/math]
tale che
[math]f'(z)=\cos z=\frac{\sin X-\sin Y}{X-Y}[/math]

Se prendiamo il valore assoluto di questa equazione abbiamo

[math]\frac{|\sin X-sin Y|}{|X-Y|}=|\cos z|\leq 1[/math]

in quanto la funzione coseno assume valori compresi tra -1 e 1. Ma allora, visto che
[math]X\neq Y[/math]
(altrimenti l'intervallo si riduce ad un solo punto e non si applica Lagrange) abbiamo che
[math]\frac{|\sin X-sin Y|}{|X-Y|}\leq 1[/math]

e quindi che

[math]|\sin X-sin Y|\leq |X-Y|[/math]

Dovrebbe essere chiaro. Se hai problemi, chiedi.
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