Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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Disegnare il grafico della funzione utilizzando ogni informazione utile che si può ricavare dalla funzione e dalla sua derivata prima e seconda.

[math]f(x)= \frac{(ln|x|)^2}{x}[/math]

Dominio:
[math]\forall x \in R-[0]
\\ D: (-\infty ; 0)U(0 ; +\infty)[/math]

Simmetria:

[math]f(-x) = \frac{(ln|-x|)^2}{-x}[/math]
la funzione è dispari quindi è simmetrico rispetto all'origine

Positività:

[math]\frac{(ln|x|)^2}{x} > 0
\\ N: (ln|x|)^2 > 0 \Rightarrow \forall x \in R
\\ D: x>0[/math]

Asintoti Verticale:
[math]lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{(ln|x|)^2}{x}=+\infty
\\ lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{(ln|x|)^2}{x}=-\infty[/math]

Aggiunto 2 minuti più tardi:

allora ho fatto ma non sono convinta ti dico la verità
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ok, tutto corretto. Solo, quando finisci la positività, scrivi che la funzione è positiva per
[math]x>0[/math]
altrimenti sembra incompleto. E puoi anche trovare le intersezioni con l'asse x (quelle con l'asse y non esistono, invece).
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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Intersezione con gli assi:

metto in sistema:
[math]y=0 \\ \frac{(ln|x|)^2}{x} = 0 [/math]

risolvo questo e mi da come risultato
[math]x = \pm1[/math]

[math]A(-1 ; 0)\\ B(+1 ; 0)[/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Corretto. Adesso calcola i limiti per
[math]x\to\pm\infty[/math]
e le derivate.
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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Asintoto Orizzontale:
senza che calcolo, sappiamo che al numeratore ho il logarittimo mentre al denomintore ho x, quindi

[math]lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{(ln|x|)^2}{x}=0\\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{(ln|x|)^2}{x}= 0[/math]


Derivata :
[math]f(x)= e^n \Rightarrow f'(x)= ne^{n-1}
\\ f'(x)= \frac{2(ln|x|)* \frac{1}{x}}{x^2}[/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Derivata sbagliata: devi usare la regola di derivazione di un quoziente.
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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[math]f'(x) = \frac{2(ln|x|)*\frac{1}{x}* x - 1 (ln|x|)^2}{x^2}\\f'(x) = \frac{2(ln|x|)-(ln|x|)^2}{x^2}[/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ok, ora va bene.
Hajra
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ora se non sbaglio devo mettere la derivata > 0 giusto?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Anche
[math]\ge 0[/math]
se preferisci, così in un colpo solo trovi sia la monotonia che i massimi/minimi (sono quelli dove la derivata si annulla e cambia il segno)
Hajra
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allora
[math] \frac{2(ln|x|)-(ln|x|)^2}{x^2} \geq 0[/math]

metto in sistema:

[math]2(ln|x|)-(ln|x|)^2 \geq 0 \\ x^2 > 0[/math]

allora

[math]x^2 > 0 \rightarrow \forall x \in R[/math]

ma la seconda equazione c'è un quadrato quindi cioè come lo risolvo?
(scusa per l'ignoranza)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora, per la prima, poni
[math]t=\ln|x|[/math]
: la disequazione diventa
[math]2t-t^2\ge 0[/math]
che equivale a
[math]t^2-2t\le 0[/math]
. Quest'ultima, in quanto disequazione algebrica di secondo grado, ha come soluzione
[math]0\le t\le 2[/math]
(sai perché?) e quindi ottieni
[math]0\le \ln|x|\le 2\ \Rightarrow\ 1\le |x|\le e^2[/math]

da cui si ricava

[math]-e^2\le x\le -1,\qquad 1\le x\le e^2[/math]

Cocludi trovando massimi e minimi.
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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sisi almeno questo si,
[math]-t^2 \geq 0[/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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? Non ti seguo, che hai scritto?
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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[math]\frac{2(ln|x|)-(ln|x|)^2}{x^2} = 0 \\ln|x|= t \\ 2t- t^2 = 0 \\ 0 < t < 2 \\ 0 < ln|x| < 2 \\ 1 < |x| < e^2 \\ 1 < x < e^2 \land -e^2 < x < -1[/math]

[math]-e^2 [/math]
è il punto massimo
[math]-1 [/math]
è il punto minimo
[math]e^2 [/math]
è il punto massimo

Pagine: 12

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