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integrate from 0 to 1 (e^(x^2)sinx/(x^(1/2)log(1+x)))dx



Salve, vado in netta difficoltà di fronte a questo genere di esercizi, ovvero studio di convergenza e divergenza di integrali impropri..so che questo integrale converge, ma non capisco il perchè..qualcuno può mica risolvermi l'esercizio e darmi una spiegazione (metodo di lavoro..) per questo genere di esercizi?

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (31-08-13 13:38, 3 anni 3 mesi 8 giorni )
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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In generale questo tipo di esercizio va risolto studiando il comportamento asintotico della funzione vicino ai punti nell'intervallo di integrazione dove la funzione stessa risulta non regolare (discontinua o non ben definita). Vediamo come ragionare in questo caso.

Un'analisi veloce della funzione ci assicura che il dominio risulta
[math]D=(0,+\infty)[/math]
: pertanto l'unico punto problematico risulta
[math]x=0[/math]
. A questo punto andiamo a vedere come si comportano, asintoticamente, le varie componenti della funzione quando
[math]x\to 0^+[/math]
. Abbiamo
[math]e^{x^2}\sim 1,\qquad \sin x\sim x[/math]
[math]\sqrt{x}\sim x^{1/2},\qquad \log(1+x)\sim x[/math]

Combinando il tutto si ricava che

[math]f(x)\sim\frac{1\cdot x}{x^{1/2}\cdot x}=\frac{1}{x^{1/2}}[/math]

Detto questo ci serviamo del seguente criterio:
l'integrale
[math]\int_a^b g(x)\ dx[/math]
converge in un intorno del punto
[math]a[/math]
se e solo se
[math]g(x)\sim\frac{1}{(x-a)^\alpha}[/math]
essendo
[math]\alpha<1[/math]

Nel caso in esame,
[math]a=0,\ \alpha=1/2[/math]
e pertanto possiamo affermare che l'integrale converge.
Benz
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Grazie mille ciampax!

Aggiunto 1 giorno più tardi:

Scusami Ciampax, cercando sul web altre informazioni riguardanti questo argomento, sono incappato in questo esercizio risolto..



mi ci sono arrovellato..ma non riesco a capire (nel riquadro in rosso) come può sqrt((1+(sqrt(x))))-1 con x->0 diventare: 1/2(sqrt(x))!?

potresti darmi una spiegazione perfavore?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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La parola magica è razionalizzazione ;)
Benz
Benz - Erectus - 77 Punti
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quello lo immaginavo..ma un conto è dirlo un conto è farlo..potresti mica scrivermi i passaggi con una spiegazioncina perfavore?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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E' di una semplicità disarmante, lo noterai tu stesso. :)

[math]\sqrt{1+\sqrt{x}}-1=\left(\sqrt{1+\sqrt{x}}-1\right)\cdot \frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}+1}{\sqrt{1+\sqrt{x}}+1}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+\sqrt{x}}+1}\;.\\[/math]

A questo punto, per
[math]x\to 0 \\[/math]
, si ha
[math]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+\sqrt{x}}+1}\sim \frac{1}{2}\sqrt{x}\; .\\[/math]
(*)
Fine ;)


(*) Infatti, si ha
[math]\begin{align}\lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+\sqrt{x}}+1}}{\frac{1}{2}\sqrt{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{x}}+1} = 1 \; .\end{align} [/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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In realtà, riguardo quella cosa, dovrebbe essere noto che

[math](1+x)^\alpha\sim 1+\alpha x[/math]

quando
[math]x\to 0[/math]
.
Benz
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Vi ringrazio entrambi..però avrei ancora qualche domanda..

1- Ciampax quest'ennesima formula, ma anche tutte le altre, a cosa fanno riferimento? limiti notevoli? formule generali per la scomposizione (se fosse dove posso trovarle..)?

2- Sempre Ciampax, nel primo post di risposta, quando vai a fare le varie stime asintotiche di ogni membro..tipo e^(x)^(2) -> 1, sen(x)->x ecc.. i risultati sono scomposizioni per mezzo di formule (taylor?) o stime dovute a semplici calcoli tenendo di conto che x->0? anche perchè non capisco come mai alcuni sono numeri (vedi "1";) e ad altri lasci l'incognita (come con sen(x))..
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora:

1) Quelle che ti ho scritto sono le versioni asintotiche dei limiti notevoli. Te ne faccio un elenco:

[math]\sin t\sim t\\ \cos t\sim 1-\frac{t^2}{2}\\ \tan t\sim t\\ e^t\sim 1+t\\ \log(1+t)\sim t\\ (1+t)^\alpha\sim 1+\alpha t[/math]

dove in generale
[math]t[/math]
rappresenta una variabile o una funzione che ha come limite zero. Un modo alternativo per vedere queste regole è anche quello di pensarle come sviluppi di Taylor al primo ordine (o, per meglio dire, al primo termine non costante).
2) la 1) contiene la risposta a questa seconda domanda. In generale quando posso sostituire direttamente valori numerici (che non complicano la vita) lo faccio. Tieni conto che con i limiti le uniche funzioni che non puoi sostituire con valori numerici (ma con funzioni equivalenti) sono quelle che hanno come limite zero o infinito: se invece hai una funzione che ha come valore limite un numero diverso dai precedenti, allora puoi tranquillamente effettuare tale sostituzione. Ovvi che qui sto parlando di funzioni che si presentano come fattori: se ti trovi in casi come somme o differenze devi stare più attento: ad esempio è scorretto scrivere

[math]\sin x-\tan x\sim x-x=0[/math]

mentre è corretto scrivere

[math]\sin x-\tan x=\sin x\left(1-\frac{1}{\cos x}\right)\sim x\left(1-\frac{1}{1-\frac{x^2}{2}}\right)[/math]

Spero di essere stato chiaro.
Benz
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Chiarissimo..ancora grazie mille!

Aggiunto 1 giorno più tardi:

Scusami Ciampax ma il teorema che hai usato nell'immagine che teorema è?

ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ci sono due teoremi fondamentali relativi all'integrazione impropria che sono i seguenti (il primo vale quando si integra in un intorno di infinito, il secondo quando lo si fa in un intorno di un punto dove la funzione ha problemi di definizione o di continuità).

TEOREMA 1: L'integrale
[math]\int_a^{+\infty} f(x)\ dx[/math]
converge se si ha
[math]f(x)\sim\frac{1}{x^\alpha}[/math]
con
[math]\alpha>1[/math]
quando
[math]x\to\infty[/math]

(Nota: possiamo sostituire a +infinito anche -infinito, mantenendo lo stesso risultato. L'osservazione importante è che sull'intervallo di integrazione
[math](a,+\infty)[/math]
la funzione non deve presentare altri problemi.)

TEOREMA 2: L'integrale
[math]\int_a^{b} f(x)\ dx[/math]
, dove la funzione
[math]f(x)[/math]
non è ben definita nel punto
[math]x=a[/math]
, converge se si ha
[math]f(x)\sim\frac{1}{(x-a)^\alpha}[/math]
con
[math]\alpha<1[/math]
quando
[math]x\to a[/math]

(Nota: possiamo scambiare l'ordine di integrazione - a può trovarsi in alto- mantenendo lo stesso risultato. L'osservazione importante è che sull'intervallo di integrazione
[math](a,b)[/math]
la funzione non deve presentare altri problemi.)
Ora però permettimi di fare una considerazione (e non ti offendere per questo): in questo post mi ha chiesto delle cose (confronto tra infinitesimi, questi due teoremi) che sono alla base della teoria legata all'integrazione impropria (e al calcolo dei limiti, attraverso i quali devi passare per risolvere tali problemi) e che dovrebbero essere enunciati che dovresti conoscere prima di affrontare questa tipologia di esercizi. Mi chiedo: tu la teoria l'hai studiata? Ti sono chiari questi concetti? Perché ti faccio presente che partire così, di punto in bianco, a svolgere esercizi senza sapere cosa fare o dove andare a parare è controproducente. (E te lo dico da docente universitario di Analisi).
Benz
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Ti ringrazio per questi aiuti, adesso mi è tutto molto più chiaro.

Il problema è che sul nostro libro di riferimento questo argomento non è trattato sotto il punto di vista della stima asintotica. Nel senso che ogni teorema spiegato (di primo e secondo tipo) si riferisce sempre al limite solo dopo aver risolto la funzione integrale, e mai riguardo il confronto asintotico sull'integranda.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Quindi mi stai dicendo che il tuo testo parla solo del "metodo di calcolo" e non di quello per la verifica se l'integrale converga? Però gli esercizi che posti sono del secondo tipo (anche perché ti sfido a provare a calcolare il primo integrale, per esempio) per cui la cosa mi puzza un po'.
Benz
Benz - Erectus - 77 Punti
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Si, più o meno e questo. E il problema deriva dal fatto che ho avuto un cambio di docente. Il primo, o meglio la prima, non batteva molto sulla convergenza degli integrali impropri, anzi diciamo quasi per niente. Il secondo, di cui purtroppo non ho potuto seguire il corso, invece si.

Il libro che ho io è il marcellini-sbordone. Qualcosina c'è, per carità, ma ad esempio i due teoremi che mi hai citato non sono riuscito a trovarli. Possibile che sia un errore mio eh, per carità...
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ah sì, sul Marcellini-Sbordone trovi scritto un Teorema del confronto che è praticamente ciò che dico io (loro fanno un confronto non locale ma globale delle funzioni, ma è lo stesso). Comunque, i teoremi utili sono i due che ti ho scritto.
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