reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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salve avrei bisogno di aiuto con lo studio della convergenza della serie:

[math]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{2^n}{5^n+n^2}arcsin(cos(n!))[/math]

grazie
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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inauguriamo il latex(viva google chrome)
consideriamo la serie di termine generale
[math]\frac{2^n}{5^n+n^2}|arcsin(cos(n!))|[/math]
che è naturalmente una serie a termini positivi
tenendo conto del codominio dell'arcoseno,essa è maggiorata dalla serie di termine generale
[math]π(\frac{2}{5})^n[/math]
che è il termine generale di una serie convergente in quanto è uguale al prodotto di una costante per il termine generale di una serie geometrica convergente

quindi,la tua serie converge non solo semplicemente ma anche assolutamente
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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scusa ho da farti alcune domande...
perchè consideriamo il codominio dell'arcoseno e
come hai fatto a trovare la serie di termine generale
[math]π(\frac{2}{5})^n[/math]
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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noi abbiamo bisogno di una serie a termini positivi,con un termine generale non troppo complicato,che maggiori la serie a termini positivi ricavata dalla serie iniziale; perchè,ricordiamolo,se una serie a termini positivi (1) è maggiorata da una serie a termini positivi (2) convergente,allora anche la serie (1) converge
veniamo a noi
[math]per ogni x |arcsinx|<π[/math]
[math] per ogni n \frac{2^n}{5^n+n^2}<(\frac{2}{5})^n [/math]
quindi il nostro termine generale è maggiorato dal termine generale che hai scritto alla fine del tuo ultimo post
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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@rino: sei stato un po' troppo "veloce" nel descrivere quello che va fatto, anche se hai dato informazioni corrette.

@reanto: ecco come procedere. Poiché la serie da te fornita, di termine generale
[math]a_n=\frac{2^n}{5^n+n^2}\cdot\arcsin(\cos(n!))[/math]

presenta il termine con l'arcoseno che, a seconda dei valori di
[math]n[/math]
potrebbe cambiare segno non in maniera comoda (cioè non presentare segni alternati, ma presentare qualcosa come 10 valori positivi, poi 15 negativi, poi 30 positivi ecc...), in tal caso si va a studiare la serie dei valori assoluti, quella in cui, per inciso, si usa come termine generale
[math]b_n=|a_n|[/math]
. In questi casi, il criterio del confronto è molto utile: infatti osserviamo che si ha
[math]b_n=\left|\frac{2^n}{5^n+n^2}\cdot\arcsin(\cos(n!))\right|=\frac{2^n}{5^n+n^2}\cdot\left|\arcsin(\cos(n!))\right|\le \frac{2^n}{5^n+n^2}\cdot\frac{\pi}{2}[/math]

L'ultima disuguaglianza viene dalla considerazione seguente: per ogni valore di
[math]n[/math]
sappiamo che
[math]-1\le\cos(n!)\le 1[/math]
(a causa della definizione della funzione coseno) e pertanto, dal momento che l'arcoseno è una funzione definita così
[math]\arcsin:[-1,1]\rightarrow\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right][/math]

ne ricaviamo che
[math]-\frac{\pi}{2}\le\arcsin(\cos(n!))\le\frac{\pi}{2}[/math]
e, in ternimi di valore assoluto, che
[math]|\arcsin(\cos(n!))|\le\frac{\pi}{2}[/math]
.
In definitiva abbiamo ancora, essendo
[math]5^n+n^2\ge 5^n[/math]
e quindi
[math]\frac{1}{5^n+n^2}\le\frac{1}{5^n}[/math]

[math]b_n\le\frac{2^n}{5^n+n^2}\cdot\frac{\pi}{2}\le\frac{2^n}{5^n}\cdot\frac{\pi}{2}[/math]

e quindi
[math]b_n\le\frac{\pi}{2}\cdot\left(\frac{2}{5}\right)^n[/math]
. Pertanto la serie dei valori assoluti è maggiorata dalla seguente serie
[math]\frac{\pi}{2}\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{2}{5}\right)^n[/math]

la quale è una serie geometrica di ragione
[math]2/5<1[/math]
e quindi convergente. Possiamo concludere allora che la serie dei valori assoluti converge e che, per un noto teorema, la serie originale converge assolutamente.
Aggiunto 1 minuto più tardi:

P.S.: @reanto: il punto va dato a rino, comunque. Io mi sono limitato a scrivere più nei dettagli la cosa, ma lui ha fatto tutto il lavoro sporco! :asd
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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grazie a tutti e due
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