Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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Come si fa lo studio di questa funzione, è urgenteeeee!!!!!
f(x) = |logx|(logx - 1)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Comincia dal dominio: cosa devi scrivere?
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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lo so che il dominio di log deve essere >0 quindi il dominio deve essere x>0 e diverso da uno. Mi sbaglio????
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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In generale il dominio della funzione logaritmo coincide con i valori che rendono positivo l'argomento del logaritmo stesso, cosa te ne fai di 1? Quello al massimo è per dare una definizione non ridondante del logaritmo in base
[math]a[/math]
, la quale deve essere diversa da 1, altrimenti la funzione è non ben definita. La funzione da studiare è
[math]f(x)=|\log x|(\log x-1)[/math]

giusto? Per cui basta porre
[math]x>0[/math]
per determinare il dominio. Fatto questo cosa fai?
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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trovo se la funzione è pari o dispari, no?
nel nostro caso:
f(-x) = |log(-x)|(log(-x)- 1)
quindi:
f(-x) = come log(-x) è nel valore assoluto quindi è sempre positivo mentre la seconda parte mi diventa -logx -1
in poco parole la funzione diventa
f(-x) = |logx|(-logx-1)
che non è nè pari nè dispari

Aggiunto 2 ore 15 minuti più tardi:

inoltre questa funzione sto provando di fare qualcosa di sola ma mi blocco sempre per esempio ti allego un altra funzione se lo dai un'occhiata e me lo dici se sto andando bene o no per favore.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora, andiamo con ordine.

Per prima cosa, la definizione di funzione pari e funzione dispari non è legata solo al come si comporti una funzione, ma anche a come è fatto il dominio. Ti scrivo le definizioni corrette e te le spiego.

DEFINIZIONE 1: Sia
[math]A\subset\mathbb{R}[/math]
un sottoinsieme dei numeri reali. L'insieme
[math]A[/math]
si dice simmetrico se, per ogni
[math]a\in A[/math]
anche il numero
[math]-a\in A[/math]
.

Un paio di esempi:
[math]A=(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)[/math]
è simmetrico, così come lo è l'insieme
[math]A=[-3,3][/math]
. Gli insiemi
[math]A=(-\infty,6)\cup[500,+\infty)[/math]
,
[math]A=(-3,3][/math]
,
[math]A=(0,+\infty)[/math]
invece non sono simmetrici.

DEFINIZIONE 2: Sia
[math]f:A\rightarrow\mathbb{R}[/math]
, con
[math]A[/math]
insieme simmetrico. La funzione
[math]f[/math]
si dice
i) simmetrica rispetto all'asse delle ordinate o pari se si verifica che
[math]f(-x)=f(x),\ \forall\ x\in A[/math]
;
ii) simmetrica rispetto all'origine o dispari se si verifica che
[math]f(-x)=-f(x),\ \forall\ x\in A[/math]
.

Ora, se leggi attentamente queste definizioni, capisci da te che verificare la parità o la disparità di una funzione non è una cosa che si può fare sempre, ma prima bisogna vedere come è fatto il dominio e verificare che sia simmetrico. Nel caso della tua funzione. avendo come dominio
[math]D=(0,+\infty)[/math]
, ne segue che la verifica di pari/dispari non si può neanche portare avanti. Scrivi tutto lo studio di questa funzione, così posso correggerlo (magari allega delle immagini, come hai fatto con l'altra).
---------------------------------------------------------------------------

Passiamo allo studio che hai fatto. Ti riscrivo tutto, così che tu possa seguire e verificare gli errori.

[math]f(x)=1+\ln(|x|-4)[/math]


1) DOMINIO: dal momento che abbiamo una funzione logaritmica, è necessario imporre che il suo argomento sia maggiore di zero. Pertanto bisogna scrivere

[math]|x|-4>0\ \Rightarrow\ |x|>4\ \Rightarrow\ x<-4\ \vee\ x>4[/math]

Infatti, per definizione di valore assoluto, se
[math]a>0[/math]
è un numero positivo allora si hanno le equivalenze
[math]|x| < a\ \Leftrightarrow\ -a < x < a\\ |x| > a\ \Leftrightarrow\ x <-a\ \vee\ x > a[/math]

In definitiva il dominio risulta
[math]D=(-\infty,-4)\cup(4,+\infty)[/math]


2) SIMMETRIA: dal momento che il dominio è simmetrico, si ha

[math]f(-x)=1+\ln(|-x|-4)=1+\ln(|x|-4)=f(x)[/math]

e pertanto la funzione risulta pari.

3) ASINTOTI: abbiamo

[math]\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\lim_{x\to\pm\infty} 1+\ln(|x|)=+\infty[/math]

e poiché

[math]\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1+\ln(|x|)}{x}=0[/math]

non vi sono né asintoti orizzontali né obliqui. Inoltre

[math]\lim_{x\to 4^+} f(x)=-\infty[/math]

dal momento che
[math]\lim_{x\to 4^+} (|x|-4)=0^+[/math]
e che
[math]\lim_{t\to 0^+}\ln t=-\infty[/math]
. Allo stesso modo (e a causa della parità) possiamo concludere che
[math]\lim_{x\to -4^-} f(x)=-\infty[/math]

e pertanto le rette
[math]x=\pm 4[/math]
risultano asintoti verticali.

4) INTERSEZIONI:
i) Asse x: per determinare queste intersezioni risolviamo l'equazione
[math]f(x)=[/math]
. Abbiamo pertanto:
[math]1+\ln(|x|-4)=0\ \Rightarrow\ \ln(|x|-4)=-1\ \Rightarrow\ |x|-4=e^{-1}\\ \Rightarrow |x|=4+e^{-1}\ \Rightarrow\ x=\pm(4+e^{-1})[/math]

e quindi le intersezioni sono i punti di coordinate

[math]A(-4-e^{-1},0),\qquad B(4+e^{-1},0)[/math]

ii) Asse y: in questo caso devi fare attenzione, Infatti, per definizione, il punto
[math]P(0,f(0))[/math]
è l'unico punto di intersezione del grafico della funzione con l'asse delle ordinate SE E SOLO SE il punto
[math]x=0\in D[/math]
. Ma nel tuo caso, come puoi vedere, tale punto non appartiene al dominio, e pertanto fare il calcolo di questo punto di intersezione non solo è superfluo ma anche errato (visto che, in effetti, non puoi fare il calcolo A MANO, per dirlo in modo semplice).
Se hai dubbi, chiedi pure.
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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fino qui ci sto, il step successivo è :
postività:
[math]1+In(|x|-4)>0[/math]

[math]In(|x|-4)> -1[/math]

[math]|x|-4> e^-1[/math]

[math]|x|>4+e^-1[/math]
[math]\textrm{x>4+e^-1}\\{x<-4-e^-1}[/math]

--------(-4-e^-1)---------(4+e^-1)--------
------------|-----------------|+++++++++ (x>4+e^-1)
++++++++|-----------------|------------- (x<-4-e^-1)
------------|++++++++++++|------------- (f(x))
è così?
poi come si fa la derivata per questa funzione??????
ti ringrazio in anticipo!
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