Mino4-ever
Mino4-ever - Erectus - 50 Punti
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4x_1-4x_3+3x_4=5
4x_1+4x_2-2x_3-3x_4-2x_5=-1
8x_1+2x_2-7x_3+3x_4-5x_5=7
12x_1+6x_2-9x_3-3x_5=6
Ho verificato che il sistema sia possibile e vengono 2 matrici di rango 2 quindi si
allora ho pensato che la soluzione dovesse essere necessariamente infinito^(incognite-rango) cioè inf^(3) ma il libro riporta questa soluz dove l'infinito non è proprio contemplato x_1=(3x_3-2x_2+x_5+2)\(2) e x_4=(x_3+2x_2-x_5+3)\(3)
Io ho provato poi a risolverlo con Gauss-Jordan e vengono tutt'altri valori
Illuminatemi xD

Aggiunto 1 ore 25 minuti più tardi:

con la bacchetta magica lol
Io sapevo che infinito^(numero incognite- rango) adesso però ho capito... ma Rouchè-Capelli in questo caso (con Gauss-Jordan) non si usa, giusto? e con gli altri metodi devo usarlo per poter procedere?
grazie
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Dunque, scrivo la matrice associata al sistema:

[math]A=\left(\begin{array}{ccccc}
4 & 0 & -4 & 3 & 0\\ 4 & 4 & -2 & -3 & -2\\
8 & 2 & -7 & 3 & -5\\ 12 & 6 & -9 & 0 & -3\end{array}\right)[/math]

e il vettore dei termini noti
[math]b=(5\ -1\ 7\ 6)^T[/math]

Utilizziamo Gauss-Jordan per rendere la matrice A triangolare: ecco i passaggi che puoi effettuare: indico con
[math]R_j[/math]
le righe e quindi
Passo 1:
[math]R_2-R_1\to R_2,\quad R_3-2R_1\to R_3,\quad R_4-3R_1\to R_4[/math]

[math]A=\left(\begin{array}{ccccc}
4 & 0 & -4 & 3 & 0\\ 0 & 4 & 2 & -6 & -2\\
0 & 2 & 1 & -3 & -5\\ 0 & 6 & 3 & -9 & -3\end{array}\right)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad b=(5\ -6\ -3\ -9)^T[/math]

Passo 2:
[math]R_2/2\to R_2,\quad R_4/3\to R_2[/math]

[math]A=\left(\begin{array}{ccccc}
4 & 0 & -4 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 1 & -3 & -1\\
0 & 2 & 1 & -3 & -5\\ 0 & 2 & 1 & -3 & -1\end{array}\right)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad b=(5\ -3\ -3\ -3)^T[/math]

A questo punto osserva che le righe 2 e 4 rappresentano la stessa equazione, quindi puoi eliminarne una.

Passo 3:
[math]R_3-R_2\to R_3,\quad R_4-R_2\to R_4[/math]

[math]A=\left(\begin{array}{ccccc}
4 & 0 & -4 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 1 & -3 & -1\\
0 & 0 & 0 & 0 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad b=(5\ -3\ 0\ 0)^T[/math]

Le equazioni del sistema sono allora

[math]4x_1-4x_3+3x_4=5,\qquad 2x_2+x_3-3x_4-x_5=-3,\qquad -4x_5=0[/math]

da cui

[math]x_5=0,\qquad 4x_1-4x_3+3x_4=5,\qquad 2x_2+x_3-3x_4=-3[/math]

e quindi

[math]x_1=\frac{4x_3-3x_4+5}{4},\qquad x_2=\frac{-x_3+3x_4-3}{2},\qquad x_5=0[/math]

Il sistema ha quindi infinito alla 2 soluzioni 8dipendenti dalle scelte di
[math]x_3,\ x_4[/math]
. la soluzione data dal tuo libro è errata, o almeno così pare. Tra l'altro, come hai fatto a dire che dovevano venire 3 parametri?
Aggiunto 40 minuti più tardi:

Mah, in realtà Rouché-Capelli è un po' una fregatura: il fatto è che, in ogni caso, prima devi determinare il rango della matrice dei coefficienti e di quella completa (quella che ottieni aggiungendo la colonna dei termini noti) e poi, in ogni caso, risolvere il sistema.

Usando invece Gauss-Jordan sin dal principio, ottieni le due cose con un solo procedimento di calcolo. Poi, dipende dai gusti, sostanzialmente. Considera che io, ad esempio, il metodo della matrice orlata lo uso di rado 8anzi, praticamente mai) in quanto mi fido di più di gauss-Jordan: le matrici orlate possono portarti a dover discutere sulla loro forma passo passo e questo ti complica inutilmente la vita.

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (28-04-10 16:07, 6 anni 7 mesi 18 giorni )
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