francicko
francicko - Ominide - 22 Punti
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sto cercando di capire il resto di lagrange , e l'argomento mi risulta ostico. Sia f(x)=a_0+a_1+a_2+........a_n x^n+ a_(n+1)x^(n+1)+.......
, ora grazie a taylor posso riscrivere l'espressione polinomiale infinita
nella seguente forma f(x)= f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2+f'''(0)x^3/3!+...f^n(0)x^n/n!+f^(n+1)(0)x^(n+1)/(n+1)!+.......
e fin qui non ho dubbi.
Se adesso volessi calcolare il valore della f(x) per un determinato valore di x
e mi arresto al termine f^n(0)x^n, commetterò un errore che indico con R_n;
chiaramente sarà R_n= f^(n+1)(0)x^(n+1)/(n+1)!+f^(n+2)(0)x^(n+2)!+....+
in sostanza sarà la somma infinita di tutti i termini successivi ad f^n(0)x^n/n!, ora affinchè riesca a calcolare con la voluta approssimazione il valore di f(x) deve necessariamente R_n tendere a zero per n tendente ad infinito, mi sbaglio?
a questo punto in che modo il teorema di lagrange mi aiuta nella stima dell'errore R_n?
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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facciamo un esempio

supponiamo di voler calcolare il valore del numero di Nepero "e",con un errore minore di 10^(-5)

prendiamo come punto iniziale x0=0;in questo caso lo sviluppo in serie viene detto di Mac Laurin e si ha
e^x=1+x+x^2/2!+......x^n/n!+.............
volendo calcolare il numero di Nepero,dobbiamo porre x=1 e si ha
e=1+1+1/2+.......+1/n!+..........
il nostro problema è capire a quale termine possiamo fermarci per avere un errore<10^(-5)
nel nostro caso,se ci fermiamo al termine 1/n!,il resto di Lagrange è del tipo
............. 1/(n+1)!*e^c .........con 0<c<1
esso si può maggiorare con la quantità e/(n+1)! che a sua volta si può maggiorare con la quantità
3/(n+1)!
quindi,per avere un errore minore di 10^(-5) basta trovare la n per la quale
........3/(n+1)!<10^(-5)
cioè (n+1)!>3*10^5
non è difficile vedere che ciò si ha per n=8
Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 24621 Punti
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L'errore nella stima con resto di Lagrange è:
|f(x) - T(x, x0, n)| <=
(|x - x0|^(n + 1)/(n + 1)!)*max|D^(n + 1)f(t)|,
per t in (x0, x) e D^(n + 1)f derivata (n + 1)-esima di f.
francicko
francicko - Ominide - 22 Punti
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Ok! grazie intanto per le risposte!
Una cosa che mi preme sapere e se é vero che necessariamente il resto R_n
deve tendere a zero per n tendente ad infinito, penso di si perchè in questo modo posso approssimarmi al valore della funzione per un determinato valore di x.
Un altra cosa che ancora non mi é chiara e come fa ad essere R_n=f^(n+1)(c) x^(n+1)/(n+1)! con 0<c<x, ho provato a dimostralo per induzione ma probabilmente sbaglio qualcosa, potreste aiutarmi?
Grazie!
Saluti!
Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 24621 Punti
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Devi applicare il teorema di Lagrange del valor medio e iterarlo (semplice dimostrazione da Wikipedia):
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Taylor#Dimostrazione_2
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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il resto tende ovviamente a zero perchè la serie è convergente
Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 24621 Punti
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Sia f:[a,b]->R appartenente a C^(n+1)([a,b]) (funzioni continue in [a,b] fino alla derivata (n+1)-esima). Allora:
f(x) = Sommatoria(k,0,n) [(x-a)^k/k!]f^(k)(a) + [(x-a)^(n+1)/(n+1)!]f^(n+1)(c),
con c in (a,x).
Dim:
g(x) = f(x) - Sommatoria(k,0,n) [(x-a)^k/k!]f^(k)(a) =>
g(x)/(x-a)^(n+1) = [g(x) - g(a)]/(x-a)^(n+1) (essendo g(a) = 0).
Applicando il teorema di Cauchy (generalizzazione di quello di Lagrange del valor medio), si ha:
[g(x) - g(a)]/(x-a)^(n+1) = g'(c1)/[(n+1)c1^n] = [g'(c1) - g'(a)]/[(n+1)c1^n],
con c1 in (a, x).
Ed ancora:
[g(x) - g(a)]/(x-a)^(n+1) = [g'(c1) - g'(a)]/[(n+1)c1^n] = [g''(c2) - g''(a)]/[(n+1)nc2^(n-1)],
con c2 in (a, c1).
Iterando:
g(x)/(x-a)^(n+1) = g^n(cn)/[(n+1)!cn],
con cn in (a, cn-1).
Infine:
g(x)/(x-a)^(n+1) = g^(n+1)(c)/[(n+1)!],
con c in (a, cn).
francicko
francicko - Ominide - 22 Punti
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Grazie a tutti per le risposte!
Purtroppo è un argomento che ancora non riesco ad avere del tutto chiaro;
cerco di esporre dove sono le mie difficoltà:
Sia f(x) un polinomio del tipo f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...a_nx^n+a_(n+1)x^(n+1)+..., indefinitivamente derivabile nell'intervallo (0,x)(ho scelto tale intervallo per semplicità ma vale in generale), sotto queste condizioni posso riscriverlo nella forma del polinomio di taylor
f(x)= f(0)+xf'(0)+(x^2/2)f''(0)+(x^3/3!)f'''(0)+...(x^n/n!)f^n(0)+(x^(n+1)/(n+1)!)f^(n+1)(0)+....., ora quello che si vuole dimostrare è che se mi arresto al termine ennesimo della suddetta serie l'errore che commetto consta della somma dei termini successivi al termine ennesimo (x^n/n!)f^n(0), esso risulta x^(n+1)/(n+1)!f^(n+1)(t) per un certo t con 0 < t < x, per verificare l'esattezza dell'asserzione procedo per induzione,
la base dell'iduzione è verificata per n=0 infatti si ha:
f(x)= f(0)+xf'(t_1) con 0<t_1<x ,in poche parole si ritrova il teorema di lagrange,perciò è vera per n=0, da qui in poi però non so più come continuare anche se so che devo fare in modo che l'asserzione vera per n=0 implichi che lo sia anche la successiva per n=1.
Grazie per l'aiuto!
Saluti!
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