albertom
albertom - Sapiens - 340 Punti
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Ciao,
qualcuno sa spiegarmi come calcolare in maniera semplice il raggio spettrrale della matrice di Jacobi e di Gauss-Siedel relativo alla matrice
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Vi ringrazio :)
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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0. Grazie alla proprietà additiva delle matrici:

[math]A := \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} := D - E - F\\[/math]
.

1. Per definizione, la matrice di iterazione di Jacobi è:

[math]B_J := D^{-1}\cdot\left(E+F\right) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & - \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}\\[/math]
.

2. Per definizione, la matrice di iterazione di Gauss-Seidel è:

[math]B_{GS} := \left(D-E\right)^{-1}\cdot F = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix}\\[/math]
.

3. Per definizione, i rispettivi raggi spettrali sono:

[math]\rho\left(B_J\right) := \underset{1\le i\le n}{\max}\left(\left|\lambda_i\right| : \det\left(B_J-\lambda\cdot I\right) = 0\right) = \frac{1}{2} < 1 \\[/math]
;
[math]\rho\left(B_{GS}\right) := \underset{1\le i\le n}{\max}\left(\left|\lambda_i\right| : \det\left(B_{GS}-\lambda\cdot I\right) = 0\right) = \frac{1}{4} < 1 \\[/math]
.

4. Dalla teoria, la condizione necessaria e sufficiente affinché un metodo iterativo converga per ogni possibile scelta di
[math]x^{(0)}[/math]
è che il raggio spettrale della matrice di iterazione sia strettamente minore di
[math]1[/math]
. Quindi, in questo caso, entrambi i metodi convergono. Da notare che seppur il metodo iterativo di Gauss-Seidel sia un'ottimizzazione di quello di Jacobi, in generale, nulla può dirsi sulla relativa rapidità di convergenza.
albertom
albertom - Sapiens - 340 Punti
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Ti ringrazio
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