icaf
icaf - Sapiens - 717 Punti
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Dato l’insieme di vettori S ={v1, v2, v3, v4}R3 dove
v1=(2,1,−1)
v2=(0,−1,0)
v3=(1,-1/2,-1/2)
v4=(2,0,1)
determinare
• la dimensione dello spazio V =L(S) ;
• una base di V contenente v3.
Riuscite ad aiutarmi??
Grazie
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Dal momento che ci troviamo in
[math]\mathbb{R}^3[/math]
ovviamente
[math]\dim_{\mathbb{R}} V\le 3[/math]
. Poniamo i vettori in una matrice
[math]\left(\begin{array}{ccc}
2 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ 1 & -1/2 & -1/2\\ 2 & 0 & 1
\end{array}\right)[/math]

Una prima riduzione per righe porta alla matrice seguente

[math]\left(\begin{array}{ccc}
2 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 1 & -2
\end{array}\right)[/math]

e una seconda riduzione porta a

[math]\left(\begin{array}{ccc}
2 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2
\end{array}\right)[/math]

Ne segue che il rango della matrice è 3, per cui vi sono 3 vettori linearmente indipendenti. Pertanto
[math]\dim V=3[/math]
e quindi
[math]V=\mathbb{R}^3[/math]
.
Trovare una base contenente
[math]v_3[/math]
ora dovrebbe essere facile: basta scegliere due qualsiasi vettori dati e metterli insieme.
icaf
icaf - Sapiens - 717 Punti
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Io devo svolgere l'esercizio con la riduzione delle matrici secondo Pivot. HO provato a svolgerlo... ti allego l'esercizio.
Il problema è il secondo quesito: non so se la base contenente V3 è giusta e soprattutto il procedimento per trovarla.
Sapresti correggerlo??
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Mi sembra tutto corretto. Anche la scelta dei vettori (qualunque combinazioni di tre vettori va bene, non so se ti è chiaro).
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