nikoroby84
nikoroby84 - Ominide - 23 Punti
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1) Si estraggono successivamente due carte da un mazzo di 52 carte. Si determini la probabilità che a) la prima carta nn sia un dieci di picche o un asso; b) la prima carta sia un asso ma nn la seconda; c) almeno una carta sia fiori; d) le carte siano dello stesse seme ; e) non più di una carta sia una figura f) la seconda carta non sia una figura posto che la prima lo sia h) le carte siano figure o quadri o entrambi!

2) da un mazzo di 52 carte si estraggono 5! calcolare la probabilità di avere:
a) una scala reale massima che consiste nell'ottenere dieci,un fante , una donna , un re ed un asso tutti dello stesso seme b) tutte le carte diverse c) 4 assi
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Per prima cosa, ricordiamo la definizione di probabilità (euristica o funzionale) di un evento: se
[math]N[/math]
è il numero di casi possibili e
[math]n\leq N[/math]
quello dei casi favorevoli al verificarsi dell'evento
[math]A[/math]
allora segue che
[math]P(A)=\frac{n}{N}[/math]

Inoltre se
[math]A,\ B[/math]
sono due eventi allora indichiamo con
[math]A\cup B[/math]
l'evento "A oppure B", mentre con
[math]A\cap B[/math]
l'evento "A e B", mentre indichiamo con
[math]A^C[/math]
l'evento "contrario di A". Ricordiamo infine le utili formule sulla probabilità seguente:
[math]P(A^C)=1-P(A)[/math]
[math]P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)[/math]

Detto questo vediamo come risolvere i problemi utilizzando queste proprietà e un po' di calcolo combinatorio.

PROBLEMA 1: Il numero totale di carte è
[math]52[/math]
. Poiché estrai 2 carte il numero di possibili combinazioni che possono venire fuori sono
[math]N=52\cdot 51[/math]
: infatti la prima volta potrai scegliere tra 52 carte, mentre la seconda, avendone già scelta una, ne restano 51.
a) Poiché richiediamo che la prima carta pescata non sia un asso o il dieci di picche, significa che dobbiamo escludere queste 5 carte dalla prima scelta: significa che alla prima pescata dovremo scegliere solo tra
[math]n_1=52-5=47[/math]
carte, mentre alla seconda avremo la possibilità di scegliere tra tutte le restanti 51 carte. Ne segue che il numero totale di eventi favorevoli risulta
[math]n=47\cdot 51[/math]
e quindi la probabilità dell'evento risulta
[math]p=\frac{47\cdot 51}{52\cdot 51}=\frac{47}{52}[/math]

b) in questo caso il numero di eventi favorevoli alla prima pescata è
[math]n_1=4[/math]
(ci sono quattro assi), mentre il numero di eventi favorevoli la seconda volta sarà pari a
[math]n_2=51-3=48[/math]
in quanto dovremo sottrarre 1 carta già pescata e inoltre ricordare di eliminare i 3 assi rimanenti. Abbiamo quindi
[math]p=\frac{4\cdot 48}{52\cdot 51}=\frac{16}{13\cdot 17}=\frac{16}{221}[/math]

c) Ricorda che ogni seme si ripete ben 13 volte in un mazzo. Ne segue che alla prima pescata hai
[math]n_1=13[/math]
eventi favorevoli, mentre alla seconda pescata ne hai
[math]n_2=12[/math]
. Ne segue che
[math]p=\frac{13\cdot 12}{52\cdot 51}=\frac{1}{17}[/math]

d) questo caso può sembrare un po' più complicato, ma in realtà basta un piccolo trucco per risolverlo: infatti basta considerare che in un mazzo di carte ci sono 4 semi. Chiedere allora che le carte presentino lo stesso seme equivale a chiedere che la situazione precedente per i fiori, si ripeta anche per gli altri semi. Poiché allora tutte queste probabilità sono uguali, basta moltiplicare per 4 (situazioni diverse con la stessa probabilità) per ottenere il risultato
[math]p=\frac{4}{17}[/math]

e) per risolvere questo caso, è conveniente ragionare al contrario: richiedere che ci sia solo una figura equivale a chiedere che contemporaneamente non ce ne siano due e non ce ne sia nessuna. Indichiamo questi eventi con

D=due figure Z=zero figure

Visto che le figure sono in totale 12 (3 per ogni seme) segue che per la probabilità dell'evento D si hanno
[math]n_1=12[/math]
casi favorevoli la prima volta e
[math]n_2=11[/math]
casi favorevoli la seconda, per cui
[math]P(D)=\frac{12\cdot 11}{52\cdot 51}=\frac{11}{204}[/math]

Per l'evento E si hanno invece
[math]n_1=52-12=40[/math]
casi favorevoli la prima volta e
[math]n_2=51-12=39[/math]
casi favorevoli la seconda, per cui
[math]P(E)=\frac{40\cdot 39}{52\cdot 51}=\frac{10}{17}[/math]

Dal momento che l'evento A="esce solo una figura" si può presentare in due modi, uscendo la figura o alla prima o alla seconda pescata, l'evento totale T="pesco due carte" è unione dei tre eventi precedenti, si ha

[math]P(T)=P(D)+P(Z)+2P(A)[/math]

e quindi si ha

[math]P(A)=\frac{P(T)-P(D)-P(Z)}{2}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{11}{204}-\frac{10}{17}\right)=\frac{73}{408}[/math]

f) Possiamo interpretare questo evento al modo seguente: se F è l'evento considerato, esso è unione dei due eventi

[math]F_1=[/math]
figura estratta la prima volta ma non la seconda
[math]F_2=[/math]
una carta qualsiasi estratta la seconda volta se la prima non è una figura
Abbiamo ovviamente che
[math]P(F)=P(F_1)+P(F_2)[/math]
. Si ha
casi favorevoli per
[math]F_1[/math]
:
[math]n_1=12,\ n_2=51-11=40[/math]
casi favorevoli per
[math]F_2[/math]
:
[math]n_1=52-12=40,\ n_2=51[/math]

per cui

[math]P(F)=\frac{12\cdot 40}{52\cdot 51}+\frac{40\cdot 51}{52\cdot 51}=\frac{210}{221}[/math]

Ora devo scappare! Ti lascio l'ultimo caso e il secondo problema. Fammi sapere.

Aggiunto 6 secondi più tardi:

Per prima cosa, ricordiamo la definizione di probabilità (euristica o funzionale) di un evento: se
[math]N[/math]
è il numero di casi possibili e
[math]n\leq N[/math]
quello dei casi favorevoli al verificarsi dell'evento
[math]A[/math]
allora segue che
[math]P(A)=\frac{n}{N}[/math]

Inoltre se
[math]A,\ B[/math]
sono due eventi allora indichiamo con
[math]A\cup B[/math]
l'evento "A oppure B", mentre con
[math]A\cap B[/math]
l'evento "A e B", mentre indichiamo con
[math]A^C[/math]
l'evento "contrario di A". Ricordiamo infine le utili formule sulla probabilità seguente:
[math]P(A^C)=1-P(A)[/math]
[math]P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)[/math]

Detto questo vediamo come risolvere i problemi utilizzando queste proprietà e un po' di calcolo combinatorio.

PROBLEMA 1: Il numero totale di carte è
[math]52[/math]
. Poiché estrai 2 carte il numero di possibili combinazioni che possono venire fuori sono
[math]N=52\cdot 51[/math]
: infatti la prima volta potrai scegliere tra 52 carte, mentre la seconda, avendone già scelta una, ne restano 51.
a) Poiché richiediamo che la prima carta pescata non sia un asso o il dieci di picche, significa che dobbiamo escludere queste 5 carte dalla prima scelta: significa che alla prima pescata dovremo scegliere solo tra
[math]n_1=52-5=47[/math]
carte, mentre alla seconda avremo la possibilità di scegliere tra tutte le restanti 51 carte. Ne segue che il numero totale di eventi favorevoli risulta
[math]n=47\cdot 51[/math]
e quindi la probabilità dell'evento risulta
[math]p=\frac{47\cdot 51}{52\cdot 51}=\frac{47}{52}[/math]

b) in questo caso il numero di eventi favorevoli alla prima pescata è
[math]n_1=4[/math]
(ci sono quattro assi), mentre il numero di eventi favorevoli la seconda volta sarà pari a
[math]n_2=51-3=48[/math]
in quanto dovremo sottrarre 1 carta già pescata e inoltre ricordare di eliminare i 3 assi rimanenti. Abbiamo quindi
[math]p=\frac{4\cdot 48}{52\cdot 51}=\frac{16}{13\cdot 17}=\frac{16}{221}[/math]

c) Ricorda che ogni seme si ripete ben 13 volte in un mazzo. Ne segue che alla prima pescata hai
[math]n_1=13[/math]
eventi favorevoli, mentre alla seconda pescata ne hai
[math]n_2=12[/math]
. Ne segue che
[math]p=\frac{13\cdot 12}{52\cdot 51}=\frac{1}{17}[/math]

d) questo caso può sembrare un po' più complicato, ma in realtà basta un piccolo trucco per risolverlo: infatti basta considerare che in un mazzo di carte ci sono 4 semi. Chiedere allora che le carte presentino lo stesso seme equivale a chiedere che la situazione precedente per i fiori, si ripeta anche per gli altri semi. Poiché allora tutte queste probabilità sono uguali, basta moltiplicare per 4 (situazioni diverse con la stessa probabilità) per ottenere il risultato
[math]p=\frac{4}{17}[/math]

e) per risolvere questo caso, è conveniente ragionare al contrario: richiedere che ci sia solo una figura equivale a chiedere che contemporaneamente non ce ne siano due e non ce ne sia nessuna. Indichiamo questi eventi con

D=due figure Z=zero figure

Visto che le figure sono in totale 12 (3 per ogni seme) segue che per la probabilità dell'evento D si hanno
[math]n_1=12[/math]
casi favorevoli la prima volta e
[math]n_2=11[/math]
casi favorevoli la seconda, per cui
[math]P(D)=\frac{12\cdot 11}{52\cdot 51}=\frac{11}{204}[/math]

Per l'evento E si hanno invece
[math]n_1=52-12=40[/math]
casi favorevoli la prima volta e
[math]n_2=51-12=39[/math]
casi favorevoli la seconda, per cui
[math]P(E)=\frac{40\cdot 39}{52\cdot 51}=\frac{10}{17}[/math]

Dal momento che l'evento A="esce solo una figura" si può presentare in due modi, uscendo la figura o alla prima o alla seconda pescata, l'evento totale T="pesco due carte" è unione dei tre eventi precedenti, si ha

[math]P(T)=P(D)+P(Z)+2P(A)[/math]

e quindi si ha

[math]P(A)=\frac{P(T)-P(D)-P(Z)}{2}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{11}{204}-\frac{10}{17}\right)=\frac{73}{408}[/math]

f) Possiamo interpretare questo evento al modo seguente: se F è l'evento considerato, esso è unione dei due eventi

[math]F_1=[/math]
figura estratta la prima volta ma non la seconda
[math]F_2=[/math]
una carta qualsiasi estratta la seconda volta se la prima non è una figura
Abbiamo ovviamente che
[math]P(F)=P(F_1)+P(F_2)[/math]
. Si ha
casi favorevoli per
[math]F_1[/math]
:
[math]n_1=12,\ n_2=51-11=40[/math]
casi favorevoli per
[math]F_2[/math]
:
[math]n_1=52-12=40,\ n_2=51[/math]

per cui

[math]P(F)=\frac{12\cdot 40}{52\cdot 51}+\frac{40\cdot 51}{52\cdot 51}=\frac{210}{221}[/math]

Ora devo scappare! Ti lascio l'ultimo caso e il secondo problema. Fammi sapere.
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