neril_s
neril_s - Ominide - 4 Punti
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dal testo abbiamo V spazio vettoriale di dimensione 4 con f:V->V
f(e_1)=e_2+e_3+2e_4
f(e_2)=-2e_1-e_2+e_3
f(e_3)=3e_1+2e_2-e_3+e_4
f(e_1)=-e_1-e_2-e_4
1) scrivere la matrice che rappresenta f rispetto ai versori
2)calcolare rk(f) null(f)
(la seguente domanda è quella in cui ho difficoltà)
3)calcolare dim(f^(-1)(P+L(B)) dove
P=-e_1+e_3+e_4
L=2e_1+e_2-e_3
quindi la matrice rispetto ai versori credo sia la seguente :
[[0,-2,3,-1],[1,-1,2,-1],[1,1,-1,0],[2,0,1,-1]]
riduco poi la matrice a scalini per calcolarmi il rango:
[[1,1,-1,0],[0,-2,3,-1],[0,0,0,-0],[0,0,0,0]]
ho dunque rk=2 null=4-2=2
per calcolare dim(f^(-1)(P+L(B)) credo (e non ne sono sicura) di dover fare la cartesiana dell'immagine e la parametrica di P+L(B)
e intersecarle:
{(x_1+x_3-x_2=0),(x_1+2x_3-x_4=0)} cartesiana immagine
(-1+2t,t,1-t,1) parametrica di P+L(B)
facendo l'intersezione però mi viene che 0=0 che cosa vuol dire??? quanto è la dimensione???
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Ciao neril_s, innanzitutto ben iscritta ;)

Con i tuoi calcoli hai trovato che ogni punto della retta
[math]P+L(B)[/math]
appartiene a
[math]Im(f)\\[/math]
.
Questo lo si poteva dire anche osservando che
[math]P\in Im(f),\; B\in Im(f)[/math]
, in quanto
[math]P,\,B[/math]
verificano le equazioni di
[math]Im(f)[/math]
, per cui
[math]Im(f)[/math]
contiene
[math]L(P,B)[/math]
che
contiene
[math]P+L(B)\\[/math]
.
Ora, dato che
[math]P=f(e_1+e_4)[/math]
e
[math]B=f(-e_2)[/math]
si ha
[math]f^{-1}(P+L(B))=e_1+e_4+L(-e_2)+ker(f)[/math]
,
dove
[math]L(-e_2)+ker(f)[/math]
è un sottospazio vettoriale di
[math]V[/math]
di dimensione
[math]dim(L(-e_2)+ker(f))=1+2-dim(L(-e_2)\cap ker(f))=3[/math]
,
visto che
[math]L(-e_2)\cap ker(f)=\{0\}\;.\\[/math]

Allora
[math]f^{-1}(P+L(B))=e_1+e_4+L(-e_2)+ker(f)[/math]
è un sottospazio
affine di
[math]V[/math]
di dimensione
[math]3[/math]
(con giacitura
[math]L(-e_2)+ker(f)\\[/math]
).
Spero sia chiaro :)
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