silber
silber - Sapiens - 552 Punti
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si consideri la funzione:

[math]f(x) = ae^{2x}+be^{-2x}-xe^{-2x}[/math]

1)determinare a e b in modo che il grafico di f(x) ammetta l'asse delle ascisse come asintoto orizzontale e che nel punto di intersezione con l'asse delle y la retta tangente sia parallela alla bisettrice del 1° e 3° quadrante.

potreste darmi una mano su questo punto dell'esercizio, per favore...

Aggiunto 1 minuti più tardi:

scusami ma non mi sono chiare un pò di cose, e spero di non disturbarti eccessivamente:

1) non ho capito perchè deduciamo che a=0
2) non ho capito tutta la parte in cui il limite tende a infinito da sinistra e che senso ha farla, non sarebbe bastato far tendere il limite a infinito e basta?
3) al punto della derivata prima, vorrei sapere perchè si è seguito quel procedimento, so che c'entra qualcosa il significato geometrico della derivata, ma non mi è chiaro cosa è stato seguito.

spero di non essere stato troppo seccante, ma già non mi piace copiare almeno tento di renderlo produttivo (se così si può dire...)

Aggiunto 5 minuti più tardi:

fin qui tutto chiaro, anzi ti ringrazio perchè mi hai illuminato su le tendenze da destra e da sinistra, che il mio professore era stato incapace di spiegarmi decentemente.

un solo appunto: come fai a raccogliere ae^-2x facendo venir fuori 1+be^-4x-x^e-4x? non c'è la a. anche se non è importante dato che il risultato verrebbe ugualmente senza il raccoglimento
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Dunque per prima cosa sappiamo che se deve essere asintotica all'asse x, ne segue questo limite:

[math]\lim_{x\right + \infty } \;ae^{2x}+be^{-2x}-xe^{-2x}=0[/math]

Questo porta subito a dedurre che
[math]a=0[/math]
e quindi il limite:
[math]\lim_{x\right + \infty }\; be^{-2x}-xe^{-2x}=0[/math]

Che mi pare sia verificato
[math]\forall b \in \mathbb {R}[/math]
.
Se deve essere:

[math]\lim_{x\right - \infty }\;ae^{2x}+be^{-2x}-xe^{-2x}=0[/math]

Questo non può mai essere verificato.

In quanto in
[math]-\infty[/math]
,
[math]b e^{-2x}[/math]
è un
[math]o(xe^{-2x})[/math]

In particolar modo posso raccogliere:

[math]\lim_{x\right - \infty }e^{-2x}\( ae^{4x}+b + x \) [/math]

Ma il termine dentro la parentesi non è infinitesimo pertanto il limite non può essere 0.

Dopodiché dobbiamo imporre che la derivata prima nel punto
[math](0,a+b)[/math]
sia uguale a 1. Operiamo a tal fine:
[math]y'=2ae^{2x}-2be^{-2x}-\(e^{-2x}-2xe^{-2x}\)[/math]

Quindi:

[math]2ae^{2x}-2be^{-2x}-\(e^{-2x}-2xe^{-2x}\)=1[/math]

Da prima noi sappiamo che a=0, quindi risolvi un'equazione in b.

Dovrebbe essere giusto. Se hai dubbi chiedi. :)

Aggiunto 1 ore più tardi:

# silber : scusami ma non mi sono chiare un pò di cose, e spero di non disturbarti eccessivamente:

1) non ho capito perchè deduciamo che a=0
2) non ho capito tutta la parte in cui il limite tende a infinito da sinistra e che senso ha farla, non sarebbe bastato far tendere il limite a infinito e basta?
3) al punto della derivata prima, vorrei sapere perchè si è seguito quel procedimento, so che c'entra qualcosa il significato geometrico della derivata, ma non mi è chiaro cosa è stato seguito.

spero di non essere stato troppo seccante, ma già non mi piace copiare almeno tento di renderlo produttivo (se così si può dire...)


Allora ragioniamo su cosa chiede il problema. Allora esso ti chiede per quali valori dei parametri la funzione ammette asintoto orizzontale l'asse delle ascisse.
Questo cosa vuol dire?
Significa che la funzione quando la x tende a infinito deve tendere a zero, per definizione di asintoto. Ok?
Io ho distinto i due limiti, ossia quando tende a + e a - infinito. Questo perché? Li ho distinti in quanto la funzione potrebbe avere due limiti diversi. Mi spiego meglio. Prendiamo un esempio. La funzione:

[math]f(x)=e^x[/math]

Se tu dovessi fare il limite per x che tende a infinito in modo generale cosa ottieni?
Nulla. Perché? È chiaro, e penso risulti evidente, che i limiti in + e - infinito sono distinti.
Allora in questo calcoleremo:

[math]\lim_{x \right -\infty}\; e^x = 0[/math]

e

[math]\lim_{x \right +\infty}\; e^x = +\infty[/math]

Tornando al nostro caso prendendo esempio da questo banale esercizio cosa possiamo dire? Che non abbiamo la più pallida idea di come si comporti la funzione a + e - infinito soprattutto perché abbiamo due variabili che possono assumere valori reali (in particolare possono essere positivi o negativi). E per questo è necessario dividere i due limiti in modo da poterli studiare in maniera rigorosa e sicura. (Questo vale per qualsiasi tipo di funzione, se te avessi -arctan(logx))+e^x credo che distingueresti i due limiti)
Inoltre da questo discende che l'asintoto orizzontale può trovarsi sia per x che tende a - infinito che per x che tende a + infinito, una ragione in più per studiarli separatamente.

Il fatto di dedurre a=0 arriva da un po' di passaggi algebrici che ho omesso. Te li mostro qui di seguito:

[math]\lim_{x\right +\infty} \; ae^{2x}\cdot \( 1+ be^{-4x}-xe^{-4x} \)[/math]

Ora cerchiamo di capire qualcosa da questo limite. Concentriamoci sull'argomento delle parentesi.

Per x che tende a più infinito 1=1,
[math]be^{-4x}\right 0\; \forall \; b \in \mathbb{R}[/math]
,
[math]xe^{-4x}\right 0[/math]
, quindi l'argomento tende ad 1. Ergo se vogliamo che la funzione tendi a 0 per necessità abbiamo che:
[math]\lim_{x \right +\infty}\; ae^{2x}[/math]
deve essere 0. Ma l'unico modo perché sia 0 è che a sia uguale a 0.
Finisco dopo di risponderti, ora devo andare. Mi trovi dopo le 21.30. Forse prima. Intanto prova a dare un'occhiata a questo. ;)

Se hai dubbi, chiedi. ;)

Aggiunto 40 minuti più tardi:

Hai ragione scusami. Devi raccogliere solo
[math]e^{2x}[/math]
e ottieni:
[math]\lim_{x\right +\infty}\; e^{2x}(a+be^{-4x}-xe^{-4x}) [/math]

Le considerazioni sono le stesse e il risultato non cambia. Comunque hai ragione non potevo raccogliere a senza considerazioni. Perché? Semplicemente perché avrei dovuto dividere gli altri addendi per a, e questo avrebbe imposto la condizione
[math]a\neq 0[/math]
che era proprio la soluzione. Questo vale sempre quando tratti parametri.
———————————————————————————

Rieccomi. Dunque te chiedevi:

"3) al punto della derivata prima, vorrei sapere perchè si è seguito quel procedimento, so che c'entra qualcosa il significato geometrico della derivata, ma non mi è chiaro cosa è stato seguito."

Partiamo dal significato di derivata ponendo prima delle ipotesi.

Sia
[math]A\subset \mathbb{R}[/math]

ed

[math]f: A\right \mathbb{R}[/math]
,
[math]c \in A[/math]

di accumulazione per A. Se prendiamo:

[math]\xi \in A, \; \xi\neq c[/math]

il rapporto incrementale

[math]\frac{f(\xi)-f(c)}{\xi -c}[/math]

descrive la rapidità con cui varia la funzione f tra il punto
[math]\xi[/math]
e il punto
[math]c[/math]
in relazione al variare di
[math]\xi[/math]
da
[math]\xi[/math]
a
[math]c[/math]
.
Portando pertanto quel rapporto al limite otterremo:

[math]\lim_{\xi\right c}\frac{f(\xi)-f(c)}{\xi -c}[/math]

Consideriamo ora un certo:

[math]h=\xi-c[/math]

Il limite diventa quindi:

[math]\lim_{h\right 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}[/math]

Questa è la definizione (seppur non completa di tutto) di derivata. Allora noi andiamo ad analizzare il suo significato geometrico sul piano cartesiano relativamente ad una curva.
Se prendiamo un arco di curva e facciamo il rapporto

[math]\frac{\Delta y}{\Delta x}[/math]

Otteniamo esattamente il coefficiente angolare della retta che collega i punti estremi dell'arco preso in considerazione. Andando ad avvicinare i due estremi, l'arco diventa sempre più corto e i punti tendono a "confondersi" se l'arco tende a 0. Penso tu abbia capito dove vogliamo andare a parare.
Infatti il limite ci consente proprio di andare a considerare la variazione infinitesima di y rispetto alla variazione infinitesima di x. Ma questo non è altro che il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel punto preso in esame. Allora adesso abbiamo la nostra derivata che è una funzione che esprime l'andamento del coefficiente angolare della retta tangente alla curva.

Ma allora, tornando a noi, troviamo la derivata della nostra curva, e imponiamo che questa, nel punto (0, a+b) sia uguale a 1.

Ecco questa è l'idea di partenza e da dove nasce tutto il ragionamento.

Spero di essere stato chiaro, se hai dubbi, come sempre puoi chiedere.

P.S.: Te hai chiesto se mi seccavo a risponderti. Beh credimi che mi secco molto di più a rispondere a chi magari scopro non interessa quello che dico. Poi se rispondo lo faccio perché mi piace, quindi finché vedo che partecipi, non temere che ti arriva sempre un aiuto (ovviamente nel limite delle mie possibilità ;) )
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