francicko
francicko - Ominide - 22 Punti
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Esistono funzioni derivabili che abbiano come polinomio di taylor la serie x-x^3/3!+x^5/5!-..., cioè il polinomio di taylor di sinx, ma che non vengano approssimate fedelmente da tale polinomio, anzi tale polinomio fallisce in maniera evidente?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dipende da cosa intendi con "approssimate fedelmente".

Considera la funzione
[math]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da
[math]f(x):= \begin{cases} -1 & se \; x < -\frac{\pi}{2} \\ \sin x & se \; |x|\le \frac{\pi}{2} \\ 1 & se \; x > \frac{\pi}{2} \end{cases} \; .\\[/math]

Trattasi di una funzione
[math]C^1(\mathbb{R})[/math]
che, rispetto a
[math]\sin x[/math]
, ha gli stessi polinomi di Taylor
[math]p_n(x)[/math]
centrati in
[math]x=0[/math]
, di ogni ordine; al di fuori dell'intervallo
[math]\left[-\frac{\pi}{2}, \; \frac{\pi}{2}\right][/math]
, per
esempio per
[math]x=\pi[/math]
, non è vero che fissato
[math]\epsilon > 0[/math]
, esiste un
[math]n[/math]
sufficientemente
grande tale che
[math]\small \left|f(\pi)-p_n(\pi)\right|<\epsilon[/math]
, perché
[math]\small f(\pi)=1[/math]
mentre
[math]\small p_n(\pi)\to \sin(\pi)=0[/math]
.
Questo limite è conseguenza dello sviluppo in serie di
[math]\sin x[/math]
, che converge su
[math]\mathbb{R}[/math]
.
Questa funzione è solo
[math]C^1[/math]
, ma è possibile trovarne una
[math]C^{\infty}[/math]
con le stesse caratte-
ristiche (mentre ciò non è possibile con una funzione analitica).

Non so se è quello che cercavi ... facci sapere. ;)
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