davide_galbiati
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Mi aiutate?
si provi per induzion che sommatoria che va da n a k=1 di (2k)^3=

si determini un MCD d(x) dei polinomi a(x)= e b(x)= e si trovino due polinomi r(x) e s(x) tale che d(x)=r(x)a(x) + s(x)b(x)

nel gruppo simmetrico S9 si consideri la permutazione alpha=(1534)(6784)(5297)
decomporre alpha nel prodotto ci cicli disgiunti
determinare di alpha e beta e beta*alpha^-1 dove beta=(876543219)

risolvere equazione diofantea
in z32(anello delle classi modulo32) risolvere 10x=0
in z32 determinare l'inverso di 9 e risolvere 9x=6
calolare il resto della divisione di per 32
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Mmmm
scusa il testo della prima parte e'

[math] \sum_{k=1}^n (2k)^3= [/math]

Aggiunto 2 minuti più tardi:

ma = a che?
davide_galbiati
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si si grazie
BIT5
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Si ma = a che cosa? non hai il secondo termine dell'uguaglianza? Perche' se non c'e' , per induzione mi mette maluccio..
davide_galbiati
davide_galbiati - Erectus - 52 Punti
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=
[math]2n^2(n+1)^2[/math]
BIT5
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Beh adesso e' fattibile:

Prima di tutto mi permetto di dirti come si legge quella sommatoria:

"sommatoria per k che va da 1 a n di (2k)^3"

La dimostrazione per induzione prevede due passi:

a) dimostrare vero il passo base (ovvero dimostrare che per k=1 (l'inizio dei valori di k che appunto vanno da 1 a n, l'uguaglianza e' verificata).

Quindi

[math] k=1: (2 \cdot 1 )^3= 2 (1)^2 (1+1)^2 \to 8=2 \cdot 4 = 8 [/math]

Verificata.

Poi

b) supposta vera l'equivalenza, dimostrare che e' verificata anche per n+1.

allora consideriamo la sommatoria per k che va da 1 a n+1 (anziche' n)

[math] \sum_{k=1}^{n+1} (2k)^3 [/math]

Considera questo:

L'operatore sommatoria esprime appunto una somma.

Quindi se abbiamo (ad esempio)

[math] \sum_{k=1}^4 k [/math]
(che corrisponde a 1+2+3+4) possiamo tranquillamente "spezzare" l'operazione come:
[math] \sum_{k=1}^3 k \ \ \ +4 [/math]

Oppure

[math] \sum_{k=1}^2 k \ \ \ + 3 + 4 [/math]

O ancora

[math] \sum_{k=1}^2 k + \sum_{k=3}^4 k [/math]

Chiarito (spero) questo concetto, allora tornando al caso di cui sopra, avremo

[math] \sum_{k=1}^{n+1} (2k)^3 = \sum_{k=1}^n (2k)^3 \ \ \ + (2(n+1))^3 [/math]

Da cui (supposta vera l'equivalenza di cui sopra) possiamo sostituire alla sommatoria il corrispondente

[math] 2n^2(n+1)^2 + (2(n+1))^3 [/math]

Distribuiamo il cubo

[math] 2n^2(n+1)^2 + 8 (n+1)^3 [/math]

Raccogliamo
[math] 2(n+1)^2 [/math]

avremo

[math] 2(n+1)^2(n^2+4(n+1))=2(n+1)^2(n^2+4n+4) [/math]

Notando che
[math] n^2+4n+4=(n+2)^2 [/math]

Scriveremo

[math] 2(n+1)^2(n+2)^2 = 2(n+1)^2((n+1)+1)^2 [/math]

Che e' la tesi verificata per (n+1).

Aggiunto 24 minuti più tardi:

Per il resto devi aspettare qualcun altro...
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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per quanto riguarda la seconda parte devi innanzitutto conoscere i polinomi..in maniera così generica non puoi calcolare ciò che richiede il problema.
Una volta che hai esplicitamente i polinomi applichi l'algoritmo di euclide esteso per trovare il MCD e i polinomi "di Bezout" s(x) e r(x). Naturalmente ciò è sempre possibile (a meno che i 2 polinomi a(x) e b(x) non siano entrambi nulli) per l'identità di Bezout nell'anello euclideo dei polinomi (a coefficienti in un campo?)

Il problema sulle permutazioni per la prima parte puoi calcolarti esplicitamente la composizione dei tre cicli non disgiunti. Dopodichè hai che la permutazione risultante è

1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 9 4 6 2 7 3 1 8

ovvero prodotto dei cicli disgiunti (15298 )(3467)

Poi..non so cosa voglia dire "determinare di alfa e beta" comunque il prodotto di beta e alfa^-1 si fa componendo le 2 permutazioni. Beta la conosci, alfa^-1 è l'inversa di alfa. Sei in un gruppo quindi l'inverso del prodotto di due elementi (alfa è i prodotto di due disgiunti) è il prodotto degli inversi dei due fattori cambiati di posto. L'inverso di un ciclo è il ciclo scritto al contrario quindi
alfa^-1=(7643)(89251). Il prodotto tra beta e alfa^-1 ora è banale.

10x=0 in Z/32

puoi procedere per forza bruta e hai che (si vede anche ad occhio) le soluzioni sono x=0 e x=16 intesi i valori come classi.

In Z/32 calcolare l'inverso di 9 significa trovare quel numero che moltiplicato per 9 dia 1. Ovvero risolvere la congruenza

9x=1 mod 32

ovvero

9x+32y=1 che è risolvibile perchè GCD(9,32)=1 che divide 1.

La risolvi applicando l'algoritmo di euclide esteso e ricavi il valore di x che è -7. Infatti 9*(-7)=-63=1 mod32

una volta che conosci l'inverso di 9 che è (abbiamo visto) -7 puoi risolvere 9x=6 in Z/32 moltiplicando ambo i membri per -7.

Ottieni così x=-42=22 che è la soluzione.

Poi non so cosa voglia dire "calolare il resto della divisione di per 32". In ogni caso se dopo quel "di" c'è un numero basta eseguire banalmente la divisione intera tra detto numero e 32 e trovarne il resto.

Se hai dubbi chiedi..
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