mery3000
mery3000 - Ominide - 13 Punti
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Calcolare il volume del cilindroide avente per base il triangolo limitato dalle rette di equazioni: x=y , y=0 e x=1, relativo alla funzione f(x,y)=x/(1+y).

Trovo difficoltà a capire quali sono le limitazioni, perchè non riesco a fare bene il grafico. Io ho già svolto l'esercizio ora vorrei confrontarmi con qualcuno che lo sappia fare... Ringrazio anticipatamente tutti! :)

Aggiunto 18 ore 16 minuti più tardi:

grazie mille.... ma per caso mi potresti allegare un'immagine del grafico?

Aggiunto 43 secondi più tardi:

grazie mille... per caso mi potresti far vedere come devo fare il grafico?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Il dominio nel piano
[math]xOy[/math]
è dato dall'insieme
[math]T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ 0\leq x\leq 1,\ 0\leq y\leq x\}[/math]

ed è quindi il triangolo di vertici
[math](0,0),\ (1,0),\ (1,1)[/math]
(triangolo rettangolo isoscele, rettangolo in
[math](1,0)[/math]
). Abbiamo allora
[math]V=\iint_T f(x,y)\ dy\ dx=\int_0^1\left[\int_0^x \frac{x}{1+y}\ dy\right]\ dx=\int_0^1 x\left[\log(1+y)\right]_0^x\ dx=\\
=\int_0^1 x\log(1+x)\ dx=\left[\frac{x^2}{2}\log(1+x)\right]_0^1-\frac{1}{2}\int_0^1\frac{x^2}{1+x}\ dx=\\
=\frac{1}{2}\log 2-\frac{1}{2}\int_0^1\frac{x^2}{x+1}\ dx.[/math]

Per calcolare l'integrale rimasto, osserva che

[math]\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}[/math]

per cui

[math]\int_0^1\frac{x^2}{x+1}\ dx=\int_0^1\left(x-1+\frac{1}{x+1}\right)\ dx=\left[\frac{x^2}{2}-x+\log(1+x)\right]_0^1=\frac{1}{2}-1+\log 2=-\frac{1}{2}+\log 2[/math]

e quindi

[math]V=\frac{1}{2}\log 2-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}+\log 2\right)=\frac{1}{4}[/math]

TUTTAVIA, si poteva procedere più facilmente scrivendo il dominio in questo modo

[math]T'=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ 0\leq y\leq 1,\ y\leq x\leq 1\}[/math]

da cui

[math]V=\iint_{T'} f(x,y)\ dx\ dy=\int_0^1\left[\int_y^1\frac{x}{1+y}\ dx\right]\ dy=\int_0^1\frac{1}{1+y}\left[\frac{x^2}{2}\right]_y^1\ dy=\\
=\int_0^1\frac{1-y^2}{2(y+1)}\ dy=\int_0^1\frac{1-y}{2}\ dy=\frac{1}{2}\left[y-\frac{y^2}{2}\right]_0^1=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}[/math]
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