phantom991
phantom991 - Erectus - 64 Punti
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Salve ragazzi...per caso sapreste risolvere questo integrale doppio?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Il disegno è giusto a metà: se le condizioni sono solo queste

[math]1\le x^2+y^2\le 16,\qquad x\le y[/math]


allora va disegnata tutta la corona circolare e tutta la retta, dopodiché va presa la parte interna alla corona stessa che si trova sopra la retta.
Per la risoluzione, è comodo un cambiamento di coordinate polari

[math]x=r\cos t,\ y=r\sin t[/math]


Così facendo le condizioni per il dominio diventano le seguenti

[math]1\le r\le 4,\qquad \cos t\le\sin t[/math]


le quali, anche guardando il disegno, ti dicono che

[math]r\in[1,4],\qquad t\in\left[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right][/math]


A questo punto, osservando che lo Jacobiano risulta
[math]J=r[/math]
l'integrale diventa

[math]\int_1^4\int_{\pi/4}^{5\pi/4}\frac{r\cos t\ r^2\sin t}{r^2}\ r\ dt\ dr=\int_1^4 r^2\ dr\cdot \int_{\pi/4}^{5\pi/4} \sin t\cos t\ dt[/math]

Aggiunto 31 secondi più tardi:

A questo punto puoi procedere da solo.
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andrea1085

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