Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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Ciao a tutti, volevo chiedervi un piccolo favore, devo fare il parziale di mate, ma non lo so dove devo mettere le mani, mi potete fare i esercizi seguenti:
Calcolare i seguenti limiti e verificare il risultato con la definizione del limite:
x->-1+ di log (radice quadrata(x+1))
x-> -? di (radice quadrata(log (-x))
x-> -1 di ((radice cubica di x) + 1 )/(x+1) è veramente urgente..... :'(
Antonio-P
Antonio-P - Blogger - 1954 Punti
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Ciao Hajra, io ti consiglio prima di leggere questo documento e provare a risolverli, Fammi sapere!

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (18-11-13 17:52, 3 anni 21 giorni )
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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Ciao Antonio,
Grazie per l'attenzione ma ti volevo dire che il limite come l'argomento ho capito, infatti, la maggior parte dei esercizi mi porta oppure, li penso che ho capito ma subito dopo mi blocco su alcuni esercizi ogni tanto, tipo quelli che ho scritto sopra allora per questo avevo pensato di chiedere un aiuto a Voi altri....
se mi potete aiutare a superare questo parziale che ho il 9 di dicembre gli argomento sono:
Limite e verifica
Funzione continua e derivabilità
Studio della funzione.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Antonio, questo tipo di link è considerato SPAM (lo hai letto il regolamento)? Ti becchi una infrazione.

Hajra: io posso aiutarti volentieri, ma quei limiti potresti scriverli un po' meglio per favore? E poi "mi potete fare" non è proprio il modo corretto di chiedere le cose.

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Tra l'altro, sul sito sono presenti molti appunti utili relativi all'argomento
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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Grazie ciampax,
chiedo scusa per l'ignoranza mia.ti allego la foto degli esercizi,spero che riesci a capire qualcosa.
In attesa alla sua risposta.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ecco, già va meglio. Allora, vediamo di fare il primo e poi tu prova a seguire la stessa idea per gli altri.

Dal momento che per
[math]x\to-1^+[/math]
si ha
[math]x+1\to 0^+[/math]
e quindi
[math]\sqrt{x+1}\to 0^+[/math]
ne segue che
[math]\lim_{x\to -1^+}\log\sqrt{x+1}=-\infty[/math]

dal momento che
[math]\lim_{t\to 0^+}\log t=-\infty[/math]
.
Per verificare tale limite con la definizione, dobbiamo verificare che valga il fatto seguente (che è la definizione generale di
[math]\lim_{x\to a^+} f(x)=-\infty[/math]
)
[math]\forall\ M>0\ \exists\ \delta_M>0\ |\ \forall\ x : a < x < a+\delta_M\ \Rightarrow\ f(x)<-M[/math]

Nel tuo caso
[math]f(x)=\log\sqrt{x+1}[/math]
mentre
[math]a=-1[/math]
. Per la verifica dobbiamo dimostrare l'esistenza di
[math]\delta_M[/math]
: per fare ciò, è necessario risolvere la disequazione per
[math]f(x) < -M[/math]
. Abbiamo
[math]\log\sqrt{x+1} < -M\ \Rightarrow\ \sqrt{x+1}< e^{-M}[/math]

e pertanto, supponendo
[math]x+1> 0\ \Rightarrow\ x> -1[/math]
(il dominio della funzione) si ha pure
[math]x+1 < e^{-2M}\ \Rightarrow\ x<-1+e^{-2M}[/math]

Ponendo allora
[math]\delta_M=e^{-2M}[/math]
otteniamo il risultato richiesto.
NOTA: per svolgere questo tipo di esercizio, è prima meglio che ti siano chiare le definizioni dei limiti di funzione (tutte e 15).
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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Grazie mille, lei ha detto che devono essere chiare le definizione dei limiti di funzione(tutte e 15) ma non penso che lo so tutte quante, mi può dire dove posso trovare. poi quanto riguarda altri esercizi il terzo ho provato ma mi blocco su un punto può essere che sto facendo male, allora ho diviso e moltiplicato il numeratore, così mi rimane al numeratore x-1 e il denominatore mi rimane (x+1)*(radice cubica di x - 1)a questo punto sostituisco apposto di x -1 così al numeratore mi diventa -2, ho fatto fino qui, dopo no lo so come devo andare avanti, per quanto riguarda il secondo ti allego il file mi può controllare se ho fatto bene o no?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Trovato subito l'errore: se tu hai che

[math]\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty[/math]

la definizione da verificare è la seguente

[math]\forall\ M>0\ \exists\ K_M>0\ |\ \forall\ x < -K\ \Rightarrow\ f(x)>M[/math]

Le definizioni di cui parlo sono scritte su un qualsiasi testo decente di Analisi. Tu quale usi?
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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uso Nuovi Lineamenti di matematica,
quindi quando il limite x-> - infinito = + infinito per la definizione da verificare deve essere così f(x) > M?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Non proprio. Le definizioni dei limiti dipendono sia dal valore a cui tende
[math]x[/math]
sia dal valore del limite stesso. Domani te ne scrivo qualcuna, poi ne riparliamo.
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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va bene. allora aspetto la tua risposta intanto grazie mille :)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Dunque, vediamo di scrivere per bene tutte le definizioni dei limiti. Fatto questo, vedremo che c'è una sorta di "regola" o trucco, se vuoi, per ricordarle tutte. Con
[math]a,c[/math]
, nel seguito, indico numeri reali diversi da infinito.

[math]1)\ \lim_{x\to a} f(x)=c\ \Leftrightarrow\\ \forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta_\epsilon>0\ |\ \forall\ x\ :\ a-\delta_\epsilon < x < a+\delta_\epsilon\ \Rightarrow\ |f(x)-c|<\epsilon[/math]

[math]2)\ \lim_{x\to a^+} f(x)=c\ \Leftrightarrow\\ \forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta_\epsilon>0\ |\ \forall\ x\ :\ a < x < a+\delta_\epsilon\ \Rightarrow\ |f(x)-c|<\epsilon[/math]

[math]3)\ \lim_{x\to a^-} f(x)=c\ \Leftrightarrow\\ \forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta_\epsilon>0\ |\ \forall\ x\ :\ a-\delta_\epsilon < x < a\ \Rightarrow\ |f(x)-c|<\epsilon[/math]

[math]4)\ \lim_{x\to a} f(x)=+\infty\ \Leftrightarrow\\ \forall\ M>0\ \exists\ \delta_M>0\ |\ \forall\ x\ :\ a-\delta_M < x < a+\delta_M\ \Rightarrow\ f(x) > M[/math]

[math]5)\ \lim_{x\to a^+} f(x)=+\infty\ \Leftrightarrow\\ \forall\ M>0\ \exists\ \delta_M>0\ |\ \forall\ x\ :\ a < x < a+\delta_M\ \Rightarrow\ f(x)> M[/math]

[math]6)\ \lim_{x\to a^-} f(x)=+\infty\ \Leftrightarrow\\ \forall\ M>0\ \exists\ \delta_M>0\ |\ \forall\ x\ :\ a-\delta_M < x < a\ \Rightarrow\ f(x)>M[/math]

[math]7)\ \lim_{x\to a} f(x)=-\infty\ \Leftrightarrow\\ \forall\ M>0\ \exists\ \delta_M>0\ |\ \forall\ x\ :\ a-\delta_M < x < a+\delta_M\ \Rightarrow\ f(x) < -M[/math]

[math]8 )\ \lim_{x\to a^+} f(x)=-\infty\ \Leftrightarrow\\ \forall\ M>0\ \exists\ \delta_M>0\ |\ \forall\ x\ :\ a < x < a+\delta_M\ \Rightarrow\ f(x) < -M[/math]

[math]9)\ \lim_{x\to a^-} f(x)=-\infty\ \Leftrightarrow\\ \forall\ M>0\ \exists\ \delta_M>0\ |\ \forall\ x\ :\ a-\delta_M < x < a\ \Rightarrow\ f(x)< -M[/math]

[math]10)\ \lim_{x\to+\infty} f(x)=c\ \Leftrightarrow\\ \forall\ \epsilon\ \exists\ K_\epsilon>0\ |\ \forall\ x\ :\ x> K_\epsilon\ \Rightarrow\ |f(x)-c|<\epsilon[/math]

[math]11)\ \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty\ \Leftrightarrow\\ \forall\ M\ \exists\ K_M>0\ |\ \forall\ x\ :\ x> K_M\ \Rightarrow\ f(x)>M[/math]

[math]12)\ \lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty\ \Leftrightarrow\\ \forall\ M\ \exists\ K_M>0\ |\ \forall\ x\ :\ x> K_M\ \Rightarrow\ f(x)< -M[/math]

[math]13)\ \lim_{x\to-\infty} f(x)=c\ \Leftrightarrow\\ \forall\ \epsilon\ \exists\ K_\epsilon>0\ |\ \forall\ x\ :\ x< -K_\epsilon\ \Rightarrow\ |f(x)-c|<\epsilon[/math]

[math]14)\ \lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty\ \Leftrightarrow\\ \forall\ M\ \exists\ K_M>0\ |\ \forall\ x\ :\ x< -K_M\ \Rightarrow\ f(x)>M[/math]

[math]15)\ \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty\ \Leftrightarrow\\ \forall\ M\ \exists\ K_M>0\ |\ \forall\ x\ :\ x< -K_M\ \Rightarrow\ f(x)< -M[/math]

Ora facciamo una cosa: tu guardali e cercare di capire come funziona la cosa, poi ti scrivo per bene questo trucco mnemonico per ricordarli tutti (e quindi sapere cosa dover verificare, di volta in volta).
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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grazie 100000000000,
no lo so come ti posso ringraziare, guarda veramente Sono davvero grato a te, cerco di studiare...
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Non c'è bisogno di ringraziarmi. Piuttosto guarda bene quello che ti ho scritto e dimmi cosa hai capito. Intanto ti spiego il trucchetto.

In generale, quando scrivi un limite tu hai una cosa simbolica di questo tipo:

[math]\lim_{x\to A} f(x)= B[/math]

dove, per i casi visti prima, possiamo avere che

[math]A\in\left\{a,\ a^+,\ a^-,\ +\infty,\ -\infty\right\},\qquad B\in\left\{c,\ +\infty,\ -\infty\right\}[/math]

Se osservi invece le definizioni equivalenti, ti accorgerai che esse hanno tutte la seguente struttura:

[math]\forall\ Q_B>0\ \exists\ Q_A>0\ |\ \forall\ x\ :\ P_A(x)\ \Rightarrow\ P_B(x)[/math]

Nella scrittura simbolica precedente,
[math]Q_A,\ Q_B[/math]
sono delle costanti dipendenti, rispettivamente, dalla forma dei valori di
[math]A,\ B[/math]
nel limite, mentre
[math]P_A(x),\ P_B(x)[/math]
sono delle proprietà dipendenti da x, subordinate nuovamente alla scelta dei valori
[math]A,\ B[/math]
. Qual è il trucco? Molto semplice. Basta ricordare il seguente schema:
1) Se
[math]A=a,\ a^+,\ a^-[/math]
allora bisogna scegliere
[math]Q_A=\delta,\qquad P_A(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
a-\delta < x < a+\delta & & A=a\\ a < x < a+\delta & & A=a^+\\ a-\delta < x < a & & A=a^-
\end{array}\right.[/math]

2) Se
[math]A=+\infty\ \Rightarrow\ Q_A=K,\quad P_A(x)= x > K[/math]

3) Se
[math]A=-\infty\ \Rightarrow\ Q_A=K,\quad P_A(x)= x < -K[/math]

Analogamente per l'altro valore si ha

1) Se
[math]B=c[/math]
allora
[math]Q_B=\epsilon,\qquad P_B(x)=\ |f(x)-c|<\epsilon[/math]

2) Se
[math]B=+\infty\ \Rightarrow\ Q_B=M,\quad P_B(x)=\ f(x)> M[/math]

3) Se
[math]B=+\infty\ \Rightarrow\ Q_B=M,\quad P_B(x)=\ f(x)< -M[/math]



Fatto questo, ricorda sempre che verificare che un limite assume un certo valore significa fare questo: risolvere la condizione
[math]P_B(x)[/math]
e verificare che, tra le soluzioni, venga fuori una che coincida con la condizione
[math]P_A(x)[/math]
che ti serve. Ecco perché, prima di farlo, conviene sempre scriversi, a priori, la definizione corretta di limite, per evitare di cadere in errore.
Spero sia chiaro.
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