Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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Dire se la funzione f(x)= x|x+1| è continua e derivabile nel punto x = -1.
Continuità:
[math]lim_{x\rightarrow -1^+} x|x+1| = -2 [/math]

[math]lim_{x\rightarrow -1^-} x|x+1| = -2[/math]

[math]f(-1) = x|x+1| = -2[/math]

la funzione è continua al punto x= -1
Derivabilità:
[math]lim_{h\rightarrow0^±}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}[/math]

[math]lim_{h\rightarrow0^±}\frac{x+h|(x+h)+1| - x|x+1|}{h}[/math]

sostituisco al posto di x = -1
[math]lim_{h\rightarrow0^±}\frac{-1+h|(-1+h)+1|+1|-1+1|}{h}[/math]

[math]lim_{h\rightarrow0^±}\frac{-1+h(1+h)+1+2}{h}[/math]

[math]lim_{h\rightarrow0^±}\frac{-1+h+h^2+3}{h}[/math]

[math]lim_{h\rightarrow0^±}\frac{h+h^2+2}{h}[/math]

faccio adesso il limite h-> 0

[math]lim_{h\rightarrow0^±}\frac{h+h^2+2}{h} = \frac{2}{0}= \infty[/math]
quindi la funzione non è derivabile nel punto -1.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Veramente
[math]f(-1)=0[/math]
, non ti pare? Il limite da calcolare per la derivabilità è questo
[math]\lim_{h\to 0^\pm}\frac{(h-1)|h|}{h}=\lim_{h\to 0^\pm} -\frac{|h|}{h}=\mp 1[/math]

e quindi la funzione non è derivabile (presenta un punto angoloso).
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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si avevo pensato pure io questa cosa che f(-1) = 0 però dopo ho visto k sta nel modulo quindi -i diventa +1 :(
quello k hai fatto x la derivabiltà sinceramente come hai fatto, me lo può spiegare meglio per favore!!!!!!!!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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# Hajra : si avevo pensato pure io questa cosa che f(-1) = 0 però dopo ho visto k sta nel modulo quindi -i diventa +1 :(
quello k hai fatto x la derivabiltà sinceramente come hai fatto, me lo può spiegare meglio per favore!!!!!!!!

Ti faccio presente che i calcoli si fanno nell'ordine giusto: il valore assoluto va applicato a tutta la somma, non solo alla x!

Aggiunto 8 minuti più tardi:

Per quanto riguarda il limite, viene fuori questo:

[math]\lim_{h\to 0^\pm}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\lim_{h\to 0^\pm}\frac{(-1+h)|-1+h+1|-[-1|-1+1|]}{h}=\\\lim_{h\to 0^\pm}\frac{(h-1)|h|}{h}=\lim_{h\to 0^\pm}\left[\frac{h|h|}{h}-\frac{|h|}{h}\right]=\lim_{h\to 0^\pm}\left[|h|-\frac{|h|}{h}\right]=\\ \left\{\begin{array}{l}
\lim_{h\to 0^+} -\frac{h}{h} \\ \lim_{h\to 0^-} -\frac{-h}{h}
\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{lcl}
-1 & & h\to 0^+\\ 1 & & h\to 0^-
\end{array}\right.[/math]

Questo perché
[math]\lim_{h\to 0}|h|=0[/math]
mentre se
[math]h\to 0^+\ \Rightarrow\ |h|=h[/math]
e
[math]h\to 0^-\ \Rightarrow\ |h|=-h[/math]
per definizione di valore assoluto.
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