the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Siano
[math]S_1[/math]
e
[math]S_2[/math]
le superfici di equazione:
[math]S_1:\: 2x^2+2y^2-z^2=1; \;\; S_2: \: (x-y)^2+z=2[/math]

Sia ora
[math]\Gamma[/math]
:
[math]\Gamma=S_1 \cap S_2[/math]

Trovare i punti di
[math]\Gamma[/math]
che sono stazionari per la funzione
[math]f(x,y,z)=z[/math]
.
Io ho trovato
[math]\Gamma[/math]
di equazione:
[math]\Gamma : \; -(x-y)^4+4(x-y)^2 +2x^2 +2y^2-4-1=0[/math]

Adesso volevo sapere se mi basta trovare il gradiente di
[math]\Gamma[/math]
e porne le componenti uguali a zero.
Dopo per determinarne la natura dei punti stazionari, devo usare la matrice Hessiana e studiarne il determinante, giusto? Più che altro vedere se è positivo o negativo.

Aggiunto 3 ore 1 minuti più tardi:

Per forza con i moltiplicatori di Lagrange?

Aggiunto 3 minuti più tardi:

Cioè devo porre:

[math]L=f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z) -\mu h(x,y,z)[/math]

Porne le derivate parziali uguali a zero, ricavare i due parametri lambda e mu e da li sostituire e trovare x,y e z?

Aggiunto 4 ore 9 minuti più tardi:

Beh ho 5 equazioni e 5 incognite. 5 derivate parziali 3 incognite (x,y,z) e 2 parametri. Quindi riesco a trovare tutto.
Grazie.

Aggiunto 15 ore 2 minuti più tardi:

La matrice Hessiana mi ricerca in genere di una curva i punti di massimo o minimo o di sella. Essendo la curva un vincolo, non li posso usare, in quanto troverei solo massimi o minimi di tale curva.

Aggiunto 18 minuti più tardi:

Aggiungo qui.
Un altro punto dell'esercizio mi chiede di trovare le equazioni delle linee rette normali alla superficie S nei punti a quota h>1 sopra il piano xy.
Poi segue con trovare l'equazione cartesiana della curva formata dai punti di intersezione di queste rette con il piano xy.
Dimostrare infine che tali rette formano un cono, trovarne vertice ed equazione cartesiana.

Aggiunto 7 ore 49 minuti più tardi:

[math]z^2-1=x^2+y^2[/math]

Pensavo di averla messa prima.

Aggiunto 3 ore 31 minuti più tardi:

A me serve punto più vettore per determinare lo spazio di una retta. Io avrei determinato il gradiente di S:

(2x,2y,-2z)

so che un punto P appartenente alla superficie ha coordinate (x_0, y_0, √(x^2+y^2+1))

Le rette direi che sono:

x=x_0+2tx_0
y=y_0+2ty_0
z=√(x^2+y^2+1)-2t√(x^2+y^2+1)

Che dovrebbe essere l'equazione di una retta generica ortogonale alla superficie S.

Da qui che non riesco a proseguire.
xico87
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no, questo è un problema di estremi vincolati (moltiplicatori di lagrange).
il vincolo è
[math] \Gamma [/math]

stiamo comunque parlando di funzioni di 3 variabili

Aggiunto 4 ore 39 minuti più tardi:

# the.track :
Aggiunto 3 ore 1 minuti più tardi:

Per forza con i moltiplicatori di Lagrange?


hai capito perchè non puoi usare il teorema dell'hessiano?

# the.track :
Aggiunto 3 minuti più tardi:

Cioè devo porre:

[math]L=f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z) -\mu h(x,y,z)[/math]

Porne le derivate parziali uguali a zero, ricavare i due parametri lambda e mu e da li sostituire e trovare x,y e z?


sì, la lagrangiana è utilizzata nel corollario dei MDL, va bene uguale il tuo modo. tieni conto anche delle equazioni dei vincoli nel sistema, altrimenti hai troppi gradi di libertà

Aggiunto 2 ore 4 minuti più tardi:

ripeto, hai capito perchè non puoi farlo con l'hessiano?

Aggiunto 19 ore 14 minuti più tardi:

no, il motivo è questo: il teorema dell'hessiano ha come ipotesi, tra le altre, che l'insieme deve essere aperto, e un vincolo non può esserlo.
ci sono casi in cui si può sfruttare anche per la ricerca degli estremi vincolati, ma per farlo ci si deve ricondurre ad insiemi aperti, reiterando più volte lo stesso procedimento. questo non è complicato nel caso il dominio sia una sfera, ma in altri casi come nel tuo è praticamente impossibile.


la superficie S come è definita?

Aggiunto 4 ore 57 minuti più tardi:

riscriviamo S in questa forma:

[math] x^2 + y^2 - z^2 + 1 = 0 [/math]

deinfiamo
[math] \xi (x, y, z) \, := x^2 + y^2 - z^2 + 1 [/math]

allora S è una curva di livello di
[math] \xi [/math]
.
ora sai che
[math] \nabla \xi (x,y,z) [/math]
è sempre ortogonale alle curve di livello di
[math] \xi [/math]
. a noi interessano i gradienti sui punti di S, quindi sui punti tali che
[math] x^2 + y^2 - z^2 + 1 = 0 \Leftrightarrow z^2 = x^2 + y^2 + 1 \; \; [/math]
(1)
la (1), vista la limitazione imposta (h, ovvero z > 1) vale sse
[math] z = \sqrt{x^2 + y^2 + 1} [/math]
.
quindi:
[math] \nabla \xi(x,y,\sqrt{x^2 + y^2 + 1}) = (2x, 2y, -2\sqrt{x^2 + y^2 + 1}) [/math]
.
a te interessa il fascio di rette generate da questi vettori, quindi basta moltiplicare il gradiente per un parametro t. noti che l'intersezione con il piano xy (z = 0) si ottiene solo per t = 0, quindi tutte le rette del fascio convergono nell'origine.

resta da dimostrare che le rette formano un cono, ma al momento non ho idee

edit
c'è qualcosa che non mi convince, ricontrollo più tardi

Aggiunto 1 ore 20 minuti più tardi:

sì, stavo per scriverti ora la correzione ma vedo che non serve: le rette in effetti sono quelle del tuo sistema parametrico (hai scritto un'imperfezione, il punto iniziale della coordinata z è calcolato in x_0, y_0, e anche il gradiente, comunque lo riscrivo sotto).

chiamando x e y le coordinate x e y in cui le rette intersecano il piano xy, ottieni questo sistema:

[math]
x = x_0 + tx_0 \\
y = y_0 + ty_0 \\
z = 0 = \sqrt{x_0^2 + y_0^2 + 1} - t \sqrt{x_0^2 + y_0^2 + 1} [/math]

è un sistema di 3 equazioni e 5 incognite, quindi dovresti riuscire ad ottenere una forma di tipo

[math] \theta(x,y) = k [/math]
, con k costante
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