oiraD93
oiraD93 - Habilis - 180 Punti
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Ciao. Pongo una domanda dettata da pura curiosità:
ma se volessi tracciare il grafico della funzione senx/x senza ricorrere all'uso del limite notevole che tutti conosciamo , come potrei fare?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Bada bene che, data
[math]f : \mathbb{R}\to\mathbb{R},\; f(x):=\frac{\sin x}{x}[/math]
, il limite
[math]\begin{aligned} \lim_{x\to 0} f(x) = 1 \end{aligned}[/math]
ci "dice" solo che per
[math]x\to 0[/math]
,
[math]y\to 1[/math]
: nient'altro! Dunque, per tracciare il grafico di
[math]f[/math]
tale limite ci dice poco o niente, bensì occorre fare il classico studio di funzione ;)
oiraD93
oiraD93 - Habilis - 180 Punti
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Grazie della risposta , ma non era quello che intendevo
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Allora prova a spiegarti meglio. :)
oiraD93
oiraD93 - Habilis - 180 Punti
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Lo faccio subito : sarebbe possibile tracciare un grafico qualitativo di questa funzione particolare senza servirsi degli strumenti che offre l'analisi?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Ok, ora sei stata chiaro. La risposta è , è possibile tracciare un grafico qualitativo della funzione
[math]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math]
definita da
[math]f(x):=\frac{\sin x}{x}[/math]
con alcuna nozione di Analisi Matematica. In particolare, sono sufficienti rudimentali conoscenze di trigonometria e saper calcolare semplici equazioni / disequazioni.

1.
[math]f[/math]
è priva del punto
[math]P(0,\,1)[/math]
perché
[math]x=0[/math]
annulla il denominatore e per ascisse vicino all'origine le ordinate si trovano nei pressi di
[math]y=1\\[/math]
.
2. Dato che
[math]f(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=\frac{\sin x}{x}=f(x)[/math]
,
[math]f[/math]
è una funzione simmetrica rispetto all'asse delle ordinate. E' quindi sufficiente tracciare il grafico di
[math]f[/math]
per
[math]x>0[/math]
e poi specchiarlo rispetto a tale asse.

3. Risolvendo un banale sistemino del tipo
[math]y=f(x),\; y=0[/math]
si scopre che il grafico di
[math]f[/math]
interseca il semiasse positivo delle ascisse nei punti
[math](\pi,\,0)\,, \; (2\pi,\;0)\,, \; (3\pi, \; 0)\,, \; \dots\\[/math]

4. Infine, per
[math]x>0[/math]
, si ha
[math]f(x)>0 \; \Leftrightarrow \; 0 < x < \pi[/math]
e analogamente
[math]f(x)<0 \; \Leftrightarrow \; \pi < x < 2\pi\\[/math]
, etc etc.
5. Bene, senza alcun strumento analitico non credo si possa fare molto meglio. Dunque, mettendo assieme tutti i tasselli fin qui cumulati, si dovrebbe pervenire, nei pressi dell'asse delle ordinate, ad un grafico di questo tipo(click).

Spero di aver soddisfatto la tua curiosità ;)
oiraD93
oiraD93 - Habilis - 180 Punti
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Grazie mille , tutto chiaro.
Ma non capisco soltanto come fai ad osservare che per ascisse vicino all'origine , le ordinate si trovano nei pressi di y= 1 ( ovvero la mia prima domanda sul limite notevole ) .
E' possibile arrivare a questa conclusione senza sapere già a priori che il limite di quella funzione per x tendente a 0 dà 1?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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E' naturale che per concludere ciò in maniera formale occorra conoscere i limiti (uno dei primi strumenti analitici che forniscono alle scuole superiori).

Se invece vuoi spiegare tale fatto ad una persona che non li conosce allora lo potresti convincere per via sperimentale calcolando quel rapporto per una quantità vicina a zero (negativa) e analogamente vicina a zero (positiva), badando bene di settare la calcolatrice su RAD (radianti).

Oppure, con un metodo "quasi analitico" (formalmente lo è e va sotto il nome di Teorema del Confronto) facendo notare per via geometrica che vale
[math]\sin x < x < \tan x[/math]
. Dunque, dividendo tutti i membri per
[math]\sin x[/math]
si ha
[math]1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}[/math]
e facendo il reciproco in tutti i membri si perviene a
[math]\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1[/math]
. Bene, per
[math]x\approx 0[/math]
la nostra funzione è imbrigliata tra due quantità pari a
[math]\approx 1[/math]
e quindi una quantità contemporaneamente maggiore e minore di una cerca costante non può che essere pari a tale costante (in questo caso ci "tende", si "avvicina" ).

Ripeto, tutte queste considerazioni hanno poco di scientifico ma si rivelano efficaci per farsi capire da persone che non hanno mai studiato Analisi Matematica. ;)
oiraD93
oiraD93 - Habilis - 180 Punti
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Perfetto, tutto chiaro. Grazie mille per la chiarezza e le risposte !
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