dodgeb
dodgeb - Ominide - 11 Punti
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Fornire una prova per: "se x+y>=2, con x e y numeri reali, allora x>=1 oppure y>=1"

Salve!
Mi sono imbattuto in questo esercizio ma non riesco a capire come possa essere risolto. Qualcuno può darmi una mano?
Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 21444 Punti
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Non sono un ragazzo universitario, ma credo fermamente di essere arrivato alla soluzione con un po' di intuito.

[math]\left(\neg{x}≥1∨\neg{y}≥1\right) \to [x,y]\in \mathbb{R}[/math]
.

Da tale affermazione, possiamo ricavare che:

[math]\left(\neg{x}+\neg{y}≥2\right)[/math]
.

Logicamente, considerando la prima scrittura, possiamo verificare che:

[math]\left(\neg{x}≥1∨\neg{y}≥1\right)\\
\Rightarrow x<1∧y<1 \\
\Rightarrow x+y<1+1 \to x+y<2[/math]


In pratica ho eseguito il calcolo inserendo il simbolo di negazione logica nelle scritture, verificando una prova per contrapposizione.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Secondo me sarebbe stato più semplice analizzare la cosa geometricamente: la disequazione
[math]x+y\ge 2[/math]
, rappresenta, nel piano cartesiano, il semipiano superiore alla retta di equazione
[math]y\ge 2-x[/math]
. Se ora tracciamo anche le rette x=1, y=1 e prendiamo il semipiano destro rispetto alla prima e quello superiore rispetto alla seconda, vediamo che il semipiano di partenza contiene, alternativamente, uno dei due semipiani qui descritti, pertanto la relazione è vera.
Anthrax, sinceramente non ho capito come usi la legge contronominale: al più avresti dovuto provare che

Se x<1 e y<1 allora x+y<2 (e questa cosa è banalmente vera).



Ah, no, ho capito, lo hai fatto alla fine. Non capivo l'utilità delle prime due righe (e non la capisco tutt'ora).
Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 21444 Punti
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Probabilmente avrei dovuto scrivere la legge contronominale in questo modo:

[math]¬(x≥1∨y≥1) \Rightarrow ¬(x+y≥2)[/math]
, ossia, posizionare il simbolo di negazione logica prima della parentesi. In questo modo, si otterrebbe anche:

[math]¬(x≥1∨y≥1)[/math]
.
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